（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 圆锥曲线的综合问题 课时1 直线与圆锥曲线　 文

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1、课时1　直线与圆锥曲线题型一　直线与圆锥曲线的位置关系例1　(1)过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是________(填序号).①没有交点；②只有一个交点；③有两个交点且都在左支上；④有两个交点分别在左、右两支上.(2)(2014·湖北改编)设a，b是关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线－＝1的公共点的个数为________.答案　(1)④　(2)0解析　(1)直线l的方程为y＝(x＋)，代入C：－＝1，整理得23x2－8x－160＝0，Δ＝

2、(－8)2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右支上.(2)关于t的方程t2cosθ＋tsinθ＝0的两个不等实根为0，－tanθ(tanθ≠0)，则过A，B两点的直线方程为y＝－xtanθ，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±xtanθ，所以直线y＝－xtanθ与双曲线没有公共点.(3)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上.①求椭圆C1的方程；②设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4

3、x相切，求直线l的方程.解　①根据椭圆的左焦点为F1(－1,0)，知a2－b2＝1，又根据点P(0,1)在椭圆上，知b＝1，所以a＝，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.②因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程得＋(kx＋m)2＝1，即x2＋2kmx＋m2－1＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝4k2m2－4(m2－1)＝0，即m2＝2k2＋1.①把y＝kx＋m(k≠0)代入抛物线方程得y2－y＋m＝0，由题意可知此方程有唯一解，此时Δ＝1－mk＝0，即mk＝1.②联立①②得解

4、得k2＝，所以或所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.思维升华　研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解.　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

5、3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.(3)当Δ<0，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点.题型二　弦长问题例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当△AMN的

6、面积为时，求k的值.解　(1)由题意得解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以MN＝＝＝又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，所以△AMN的面积为S＝MN·d＝，由＝，解得k＝±1.思维升华　有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的

7、弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.　(2015·湖南)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.(1)求C2的方程；(2)若AC＝BD，求直线l的斜率.解　(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2－b2＝1.①又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为，所以＋＝1.②联立①②，得a2＝9，b

8、2＝8.故C2的方程为＋＝1.(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，