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《（北京专用）2019版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题夯基提能作业本 文》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第九节 圆锥曲线的综合问题A组 基础题组1.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.2.(2017北京东城一模)已知椭圆W:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且
2、F1F2
3、=2,椭圆上一动点P满足
4、PF1
5、+
6、PF2
7、=2.(1)求椭圆W的标准方程及离心率;(2)如图,过点F1作直线l1与椭圆W交于点A,C,过点F2作直线l2⊥l1,且l2与椭圆W交于点B,D,l1与l2交于点E,试求四边形ABCD的面积的最大值.3
8、.(2016北京西城期末)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点A在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设动直线l与椭圆C有且仅有一个公共点,且l与圆x2+y2=5相交于不在坐标轴上的两点P1,P2,记直线OP1,OP2的斜率分别为k1,k2,求证:k1·k2为定值.4.(2016北京朝阳一模)已知椭圆C:+=1的焦点分别为F1,F2.(1)求以线段F1F2为直径的圆的方程;(2)过点P(4,0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M,N.在x轴上是否存在点Q,使得∠PQM+∠PQN=180°?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.B
9、组 提升题组5.(2017北京海淀二模)已知F1(-1,0)、F2(1,0)分别是椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)若A,B分别在直线x=-2和x=2上,且AF1⊥BF1.(i)当△ABF1为等腰三角形时,求△ABF1的面积;(ii)求点F1,F2到直线AB距离之和的最小值.6.(2016北京海淀二模)已知曲线C:+=1(y≥0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A,D两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C.(1)当点B坐标为(-1,0)时,求k的值;(2)记△OAD的面积为S1,四边形ABCD的面积为S2.(i)若S1=,求
10、
11、AD
12、的值;(ii)求证:≥.答案精解精析A组 基础题组1.解析 (1)由题意,知椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以·=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又+2=4,所以
13、AB
14、2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=+++4=+++4=++4(0<≤4).因为+≥4(0<≤4),当且仅当=4时等号成立,所以
15、AB
16、2≥8.故线段AB长度的最小值为2.2.解析 (1)由已知,得
17、解得所以椭圆W的标准方程为+=1,离心率e==.(2)连接EO.由题意知EF1⊥EF2,所以
18、EO
19、=
20、F1F2
21、=1.所以点E的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.显然点E在椭圆W的内部.S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=
22、AC
23、·
24、BE
25、+
26、AC
27、·
28、DE
29、=
30、AC
31、·
32、BD
33、.①当直线l1,l2中的一条直线与x轴垂直时,不妨令l2⊥x轴,此时AC为长轴,BD⊥x轴,把x=1代入椭圆方程,可求得y=±,则
34、BD
35、=,此时S四边形ABCD=
36、AC
37、·
38、BD
39、=4.②当直线l1,l2的斜率都存在时,设直线l1:x=my-1(m≠0),A(x1,y1),B(x2
40、,y2).联立消去x,得(2m2+3)y2-4my-4=0.所以y1+y2=,y1y2=,则
41、AC
42、==.同理,
43、BD
44、=.S四边形ABCD=
45、AC
46、·
47、BD
48、=××====4<4.综上,四边形ABCD的面积的最大值为4.3.解析 (1)由题意,得=,a2=b2+c2,又因为点A在椭圆C上,所以+=1,解得a=2,b=1,c=,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:当直线l的斜率不存在时,由题意知l的方程为x=±2,易得直线OP1,OP2的斜率之积k1·k2=-.当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=kx+m(k≠0).由得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-
49、4=0,因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)=0,即m2=4k2+1.由得(k2+1)x2+2kmx+m2-5=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以k1·k2=====,将m2=4k2+1代入上式,得k1·k2==-.综上,k1·k2为定值-.4.解析 (1)因为a2=4,b2=2,所以c2=2.所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2.(2)假设存在点Q(m,0),使得∠PQM+∠PQN=180°,则直线QM和QN的斜率存在,分别设为k1,k2.则k1+k
