2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲抽象函数配套课件理

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1、第13讲　抽象函数考纲要求考点分布考情风向标1.了解函数模型的实际背景.2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质2014年新课标Ⅰ第5题考查抽象函数的奇偶性从近几年的高考试题来看，对本节内容的考查主要是与周期性、单调性相结合，求函数值、比较大小等，重点探讨幂函数型、指数函数型、对数函数型抽象函数的解析式及基本性质1.下列四类函数中，有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)C满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(A.幂函数C.指数函数)B.对数函数D.余弦函数解析：假设f(x)＝ax，则f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).2.已知f(x＋y)＋f(x－y

2、)＝2f(x)·f(y)，且f(x)≠0，则f(x)是()A.奇函数BB.偶函数C.非奇非偶函数D.不确定解析：令x＝y＝0，则2f(0)＝2[f(0)]2，因为f(x)≠0，所以f(0)＝1.令x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(y)，f(y)＝f(－y)，f(x)为偶函数.故选B.A0考点1正比例函数型抽象函数例1：设函数f(x)对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证：f(x)是奇函数；(2)试问当－3≤x≤3时，f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说出理由.(1)证明：令x＝y＝0，则有

3、f(0)＝2f(0)⇒f(0)＝0.令y＝－x，则有f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x).∴f(x)是奇函数.(2)解：当－3≤x≤3时，f(x)有最值，理由如下：任取x10⇒f(x2－x1)<0.且f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.∴f(x1)>f(x2).∴y＝f(x)在R上为减函数.因此f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值.f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.∴函数的最大值为6，最小值为－6.【规律方法】(1)利用赋值法解

4、决抽象函数问题时需把握如下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”.(2)解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为：f(0)＝0⇒f(x)是奇函数⇒f(x－y)＝f(x)－f(y)⇒单调性.(3)判断单调性小技巧：设x10⇒f(x2－x1)<0⇒f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)

5、数f(x)的定义域为{x

6、x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.(1)证明：对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).令x1＝x，x2＝－1，则有f(－x)＝f(x)＋f(－1).又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1).再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0.从而f(－1)＝0.于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数.【互动探究】

7、②③考点3指数函数型抽象函数例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当x＞0时，f(x)>1，且对任意的a，b∈R，有f(a＋b)＝f(a)·f(b).(1)求证：f(0)＝1；(2)求证：对任意的x∈R，恒有f(x)＞0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x－x2)＞1，求x的取值范围.(1)证明：令a＝b＝0，则f(0)＝[f(0)]2.∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.(2)证明：∵当x＜0时，－x＞0，∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.又当x≥0时，f(x)≥1＞0.∴对任意的x∈R，恒有f(x)＞0.(3)证明：设x1＜x2，则x

8、2－x1＞0.∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1).∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是R上的增函数.(4)解：由f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1得f(3x－x2)＞f(0).∵f(x)是R上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.∴x的取值范围是(0，3).【规律方法】判断单调性小技巧：设x1>x2，x1－x2>0，则f(x1－x2)>1，f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>