《微分基础知识》word版

《《微分基础知识》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§3微分一、单变量函数的微分1.基本概念[导数的定义及其几何意义]设函数y=f(x)当自变量在点x有一改变量时,函数y相应地有一改变量,那末当趋于零时,若比的极限存在(一确定的有限值)，则称这个极限为函数f(x)在点x的导数,记作图5.1这时称函数f(x)在点x是可微分的函数(或称函数f(x)在点x可微)。在几何上,函数f(x)的导数是函数y=f(x)表示的曲线在点x的切线的斜率,即=式中α为曲线在点x的切线与x轴的夹角(图5.1)。[单边导数]=及=分别称为函数f(x)在点x的左导数和右导数。导数存在的充分必要条件是:=[无穷导数]若在某一点x有=±∞则称函

2、数f(x)在点x有无穷导数。这时函数y=f(x)的图形在点x的切线与x轴垂直(当=+∞时,函数f(x)的图形在点x的切线正向与y轴方向一致,当=－∞时,方向相反)。[函数的可微性与连续性的关系]如果函数y=f(x)在点x有导数，那末它在点x一定连续。反之,连续函数不一定有导数,例如1°　函数y=

3、x

4、在点x=0连续,在点x=0,左导数=－1,右导数=1,而导数不存在(图5.2)。图5.2图5.32°　函数y=f(x)=在点x=0连续,但在点x=0左右导数都不存在(图5.3)。2.求导数的基本法则[四则运算求导公式]　若c为常数,函数u=u(x),都有导数,则=

5、0=c（≠0）[复合函数的导数]若y=f(u),u=都有导数,则=[反函数的导数]如果函数y=f(x)在点x有不等于零的导数,并且反函数x=f－1(y)在点y连续,那末存在并且等于，即=[隐函数的导数]假定函数F(x,y)连续,并且对于每个自变量都有连续的偏导数,而且，则由F(x,y)=0所决定的函数y=f(x)的导数=＝式中＝，＝(见本节，四)。[用参数表示的函数的导数]设方程组　（α

6、数较为便利,然后由这函数的对数求其导数。例求的导数。解两边各取对数,得lny=pln(x－a)＋qln(x－b)－rln(x－c)左边的lny为y的函数,而y又为x的函数,故应用求复合函数的导数的法则得到由此得所以3.函数的微分与高阶导数[函数的微分]若函数y=f(x)的改变量可表为＝A(x)dx+o(dx)式中dx=Δx，则此改变量的线性主部A(x)dx称为函数y的微分,记作dy=A(x)dx函数y=f(x)的微分存在的充分必要条件是:函数存在有限的导数=,这时函数的微分是dy=dx上式具有一阶微分的不变性,即当自变量x又是另一自变量t的函数时,上面的公式仍

7、然成立.[高阶导数]函数y=f(x)的高阶导数由下列关系式逐次地定义出来(假设对应的运算都有意义)：=[高阶微分]函数y=f(x)的高阶微分由下列公式逐次定义：=式中.并且有=及[莱布尼茨公式]若函数u=及=有n阶导数(可微分n次),则式中,,为二项式系数。同样有式中，更一般地有式中m，n为正整数。[复合函数的高阶导数]若函数y=f(u),u=有l阶导数，则式中，[基本函数的导数表]f(x)f(x)c0xnnxn－1shxchxchxshxthxcthxsechxcschxArsechxf>0取取+Arcschx,x>0Archx=,x>1f>0取+，f<0A

8、rthx=(｜x｜<1)lnchxthxArcthx=(｜x｜>1)lnsechxcschx[简单函数的高阶导数表]f(x)m(m－1)…(m－n+1)(当m为整数且n>m时，=0)这里(2n+1)!!=(2n+1)(2n－1)(a>0)shxshx(n为偶数)，chx(n为奇数)chxchx(n为偶数)，shx(n为奇数)4.数值导数当函数用图形或表格给出时,就不可能用定义求出它的导数,只能用近似方法求数值导数.[图解微分法]适用于用图形给出的函数求导数,例如机械设计中已知s－t图,求图,a－t图等,其基本步骤如下：(1)将原坐标系Oxy沿y轴负方向平移一段

9、距离得坐标系(图5.4).图5.4(2)过曲线y=f(x)上点M1(x1,y1)作切线M1T1.在坐标系内,过点P(－1,0)作PQ1平行于M1T1交y轴于点Q1,那末点Q1(点)的纵坐标就是导数.以Q1的纵坐标为纵坐标,x1为横坐标作出点.(3)在曲线y=f(x)上取若干个点M1,M2,,在曲线弯曲程度较大处点取得密些.仿上作法,在坐标系内得到相应点,,,顺次连成光滑曲线,即是导函数的图形.[差商公式]在实用中常使用下列简单的近似公式,,…,式中=（函数f(x)在点a的１阶差分）　　（函数f(x)在点a的２阶差分）……………………………………（函数f(x)在

10、点a的k阶差分）在函数的数值表中,如果