《常微分答案》word版

《《常微分答案》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、常微分方程参考试卷(11)一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．方程的任一解的最大存在区间必定是　　　　．2．方程的基本解组是．3．向量函数组在区间I上线性相关的________________条件是在区间I上它们的朗斯基行列式．4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的　　　　条件．5．阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间．6．向量函数组在其定义区间上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式，．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解7.8.9．10．求方程的通解．11．求下列方程组的通解．三、证明题（每小题15分，本题共30分

2、）12．设和是方程的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式，其中为常数．13．设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为．答案一、填空题（每小题5分，本题共30分）1．2．3．必要4．充分5．n6．必要二、计算题（每小题8分，本题共40分）7．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+8．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即。9．解令，则原方程的参数形式为由基本关系式积分有得原方程参数形式通解。10．解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数得确定出，。原方程的通

3、解为。11．解特征方程为即。特征根为，。对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为。三、证明题（每小题15分，本题共30分）12．证明由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件．显然是方程的两个常数解．任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为．13．证明如果和是二阶线性齐次方程的解，那么由刘维尔公式有现在，故有。