《常微分方程》word版

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1、第4章常微分方程【学习目标】常微分方程部分介绍的是在电子信息类领域常见的一种数学模型-微分方程的基本概念和解析解法，实际上微分方程的概念和解法还有很多，而且现有理论还远不能满足需要，需进一步发展和完善.但通过本章学习掌握一定的微分方程建模知识和求解方法，可以巩固前面所学习的微积分知识，也可为后续课程的学习打下一定基础.【基本要求】要求通过学习，了解微分方程及其解的基本概念，掌握可分离变量微分方程的分离变量解法，熟练掌握一阶线性微分方程的常数变易解法和二阶常系数齐次线性微分方程的特征根解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数解法，了解

2、微分方程的简单应用.4.1常微分方程的基本概念可分离变量的微分方程函数是反映客观事物中变量之间的一种对应关系．建立函数关系，对我们认识世界的客观规律性具有非常重要的意义．但在许多实际问题中函数关系往往不能直接建立，而只能得到含有未知函数的导数或微分的关系式，这就是微分方程．4.1.1微分方程的基本概念引例1一曲线通过已知点，且在该曲线的任意一点处的切线斜率为，求该曲线的方程.解:设所求曲线的方程为,根据导数的几何意义与题设条件,可知函数应满足以下关系式:(4.1)此外,还满足条件(4.2)对(4.1)式两边积分,得即(4.3)其中为任意常数

3、.把条件(4.2)代入(4.3)式,得由此解得　，即得所求的曲线方程为(4.4)引例2一物体从高度为s处以初速度v垂直上抛，设此物体的运动只受重力的影响，试求该物体的运动路程与时间的函数关系.解：设所求的函数关系为,根据题意及二阶导数的力学意义，可知应满足以下关系式（4.5）此外，s=s(t)还满足条件(4.6)(4.7)对（4.5）式两边积分，得（4.8）再积分一次，得（4.9）其中、为任意常数.将条件(4.6)代入式（4.9），得=将条件(4.7)代入式（4.8），得=即得所求的运动路程s与时间t的函数关系为（4.10）下面给出微分方程

4、的基本概念定义4.1含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程，例如引例1的（4.1）式和引例2的（4.5）式都是常微分方程.未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程，为方便起见，下面所提到的常微分方程都简称微分方程（或方程）.定义4.2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.例如引例1的方程（4.1）是一阶微分方程，引例2的方程（4.5）是二阶微分方程.又如微分方程为三阶微分方程.一般的n阶微分方程的形式为定义4.3如果把一个函数代入微分方程后，能使

5、该方程成为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解.例如，引例1中函数（4.3）、（4.4）都是方程（4.1）的解，引例2中函数（4.9）、（4.10）都是方程（4.5）的解.如果微分方程的解中含有任意常数，且它所含独立的（即不可合并而使其个数减少的）任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则称它为微分方程的通解（或一般解）.例如，引例1中（4.3）是方程（4.1）的通解，引例2中（4.9）是方程（4.5）的通解.如果使微分方程的通解中的任意常数都取确定的数值，这样得到的解称为微分方程的特解.例如，引例1中（4.4）是方程（4.1）的特解，引例2中

6、（4.10）是方程（4.5）的特解.要求出微分方程的特解，就必须对微分方程给出一定的附加条件.这种用于确定微分方程通解中的任意常数的数值的附加条件称为微分方程的初始条件.因此，微分方程的特解也可以看成微分方程满足初始条件的解.例如，引例1中（4.2）是方程（4.1）的初始条件，引例2中（4.6）、（4.7）是方程（4.5）的初始条件.一般n阶微分方程的初始条件为，,.从几何上看，常微分方程的每个特解表示该方程的一条积分曲线，而常微分方程的通解则表示该方程的积分曲线族.求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题.例如，一阶微分方程的初值问

7、题可记为（4.11）二阶微分方程的初值问题可记为（4.12）例１　验证函数是微分方程的通解，并求出方程满足初始条件，的特解.解：求的导数，得将、、的表达式代入方程的左端，得（）-（）-6（）=0即函数满足原方程，因此它是原方程的解.又有由于含有两个独立的任意常数，其个数与原微分方程的阶数相同，所以是原方程的通解.将条件代人，得将条件代人，得由此解得，所以所求得特解为4.1.2可分离变量的微分方程定义4.4形如（4.13）的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程.其中、分别为、的连续函数，且.这类方程的特点是，可以通过四则运算化为如下左端只含

8、的函数乘，右端只含的函数乘的变量分离的形式可分离变量的微分方程的解法称为分离变量法.其步骤如下：（1）分离变量将方程（4.13）写成变量分离的形式（2）两边积分得求出积分，即得方