《函数微分》word版

《《函数微分》word版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、一、   主要内容1导数的概念，导数的几何意义，平面曲线的切线方程和法线方程，左、右导数的概念及函数可导的充要条件.2导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.3隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，反函数的导数.4高阶导数的概念，莱布尼兹公式.5       微分的概念，函数微分的几何意义，微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6       费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理.7       洛必达法则.8       泰勒公式.9       函数的单调性与曲线的凹

2、凸性.10   函数的极值与最值.11   函数图形的描绘、曲率、方程的近似解.二、   学习要求1深刻理解导数的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，了解左、右导数的概念及函数可导的充要条件.2       掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式，会求初等函数和分段函数的导数.3会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会求反函数的导数.4理解高阶导数的概念，了解莱布尼兹公式，会求简单函数的n阶导数.5   

3、    深刻理解微分的概念，理解导数与连续、微分的关系，了解函数微分的几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分不变性.6       会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用.7       理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理.会利用微分中值证明简单的不等式及方程解的存在性.8       熟练掌握用洛必达法则求各种类型的未定式的极限的方法.9       理解泰勒中值定理，了解等函数的麦克劳林公式.10   掌握单调性、凹凸性的判别，会利用它们证明某些不等式及方程解的唯一性.11   理解函数的

4、极值概念，掌握求极值和最值的方法，会求简单实际问题的最值.12   了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.会利用导数描绘函数图形.三、   疑难解答1导数定义导数定义有不同的表达形式，如等.导数是“比”式的极限（不是极限的比）,并且必是两个无穷小之比的极限,是、或、或时的比式的极限；在求极限的过程中是不变的常量,但是，极限过程之后得到的又是的函数，而与(或)无关,故称为“导函数”.再者，其中的极限变量（或）趋于零的方式不能有任何限制，必须是双边极限并通过一切中间量而连续地趋于零.例如：，,均得不到

5、结论，前者只能说明函数在点的右导数存在，后者则是沿特定的子列趋于.再如狄利克雷函数对于任意，与同为有理数，或同为无理数，即有，从而,但在内处处不连续，从而处处不可导.另外,导数定义中比式的分子、分母中的极限变量必须以统一的形式出现，比如，等式右端并不是，而是，即.不难得到下面的非常有用的公式：若在可导，则。2单侧导数⑴函数的单侧导数的定义，就是把导数定义中的双侧极限改为单侧极限与.函数在点的左、右导数都存在，不能保证函数在点可导，还需左、右导数相等.⑵，不能保证函数在点可导，例如时，，；时，，.但是由于在点不连续，

6、故在点不可导.在这里，点是函数的“可去间断点”.如果将改为则在点可导，并且.⑶分段函数在分段点两侧表达式一致时，即时，应直接用定义判定的存在性，不必讨论其单侧导数.当分段函数在分段点两侧定义表达式不一致时，即就必须通过判定在点的左、右导数的存在性与相等性来判定存在性.3可导性与连续性可导必连续，但连续未必可导.例如，函数处处连续；时存在导数；在点处不可导，因为不存在.不能想当然地认为连续函数至少在某些点可导，因为存在处处连续而处处不可导的函数：，是一个由无穷级数(参见第十章无穷级数)定义的非初等函数，由实变函数知识

7、可以证明为连续函数，但处处不可微.由此例也可体验到曾统治古典数学研究的直观方法是不可靠的.4导数的几何意义函数在点可导，则函数所表示的曲线在点处切线的斜率存在，于是必有切线.但其否命题不成立，即若函数在点不可导，函数所表示的曲线在点处未必不存在切线.例如，，但曲线在点处有铅垂切线.5导数与微分导数与微分都是讨论Dx与Δy的关系的，所以它们之间应有内在的联系，教材第二章第五节的定理1(P.90)揭示了这种联系.但是导数与微分是源于两个不同的实际背景：导数源于精确地计算函数的变化率，它把泛泛的平均变化率精确化到在一点的

8、变化率，是变化率的数学抽象.微分源于近似计算；实际应用中的一切计算几乎都是需要近似计算的(这表明了微分应用的广泛性)；微分表达式,即表明只要知道在一点的函数值及其导数的值，就可以用Δx的一次函数近似计算点附近的函数值,误差是比高级无穷小——这就可以把一个难以计算其值的函数(如超越函数),局部近似地表达为便于计算数值的函数(一次函数).遗憾的是，这里的近似度偏