《函数微分学》word版

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1、2009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学第二章一元函数微分学2008年考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微分曲率的概念曲率圆与曲率半径2008年考试要求1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的

2、关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格郎日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，

3、了解并会用柯西（Cauchy）中值定理。6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间（a，b）内，设函数f(x)具有二阶导数。当时，f(x)的图形是凹的；当时，f(x)的图形是凸的），会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。一、导数的定义、几何意义、物理意义、经济学意义1．定义

4、：在的某一邻域内有定义，而且称为导数。可导必连续，连续不一定可导。导数极限定义的几种等价形式：①导数极限的充要条件形式（特点是：必须存在一个固定点）：1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学●●②必要条件形式（特点是：没有一个固定点）：●也就是说：相应的极限存在，不一定存在。●重要公式：但存在，并且为同价无穷小时,下列公式成立陈氏第2技【例1】若存在，求解：=【例2】（1）讨论的可导性；（2）讨论的连续性。解：（1）在内处处可导，仅需讨论点。1032009智轩考研数学创高分红宝书系列

5、---高等数学，故在处处可导。（2）由于：为无界量，故为的第二类震振荡间断点。【例3】函数在处连续，下列命题是否正确？A）B）C）D）解：在处连续，则在处的邻域内有定义，A）B）C）D）【例4】解：1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学【例5】设在上满足，若已知，求：。解：设2．的几何意义为点切线的斜率，的物理意义为点的变化率，的经济学意义为点的边际。3．存在，则或存在且相等。4．可导的奇函数的导数为偶函数；可导的偶函数的导数为奇函数；求导不改变函数的周期性；但积分会改变函数的周期

6、性。二、导数定义的基本应用1．求分段函数分界点或边界点的导数1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学【例6】设；求。解：当当【例7】设函数求。解：也可以这样计算：这是因为此题中的分段函数没有共同的分界点。1．求解特殊的常微分方程【例8】设在实轴上连续，存在，；求。解：令或0；如当；令1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学1．在只知道连续而未知可导的情况下【例9】设在处连续；求。解：【例10】设；在连续，但不可导，又存在，证明：。证明：如果：，由于和存在，则如果：，则

7、由商的求导法知：在可导，与题设矛盾；所以充要条件是：。4．陈氏第3技在点为不可导在点阶可导，且【例11】函数不可倒点的个数是解：1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学由陈氏第三技，直接判断出不可导点为共2个，故选。【例12】函数，则是在处可导的解：，直接得出正确。1．函数在内有界，则下列命题成立：1）证明：设，不妨设，由极限的保号性知，存在，当时，可使，于是，与有界矛盾；当，由极限的保号性知，存在，当时，可使，于是，与有界矛盾；故。2），反例：。3），反例：。4），反例：。6．反函

8、数二阶导数公式证明：，没有改变符号。1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学【例13】设有反函数，，且，求；求；解：记，为的反函数，已经改变了符号，为利用反函数公式，需要将该为注意到由等式，两边再次关于求导得令，则三、导数的经济学应用（针对数学3-4的经济类考生）3-1．经济分析中常用的五大经济学函数1）总成本函数（TotalCostFunction）1032009智轩考研数学创高分红宝书系列---高等数学在经营活动中的总成本（用字母C表示）与产品的产