《复合函数微分法》word版

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1、第四节复合函数微分法分布图示★链式法则(1)★链式法则(2)★链式法则(3)★例1★例2★例3★例4★例5★例6★例7★例8★例9★例10★全微分形式的不变性★例11★例12★例13★例14★内容小结★课堂练习★习题9—4★返回内容要点一、复合函数的中间变量为一元函数的情形二、复合函数的中间变量为多元函数的情形三、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形,四、全微分形式的不变性例题选讲例1（E01）设而求导数解例2（E02）设而求和解例3求的偏导数.解设则可得则例4设,.求和解例5（E03）设求解例6设函数具有二阶连续偏导数，试求常数a，使得

2、变换可把方程化简为解把视为关于的复合函数,则有当具有二阶连续偏导数时,有把上述结果代入方程(1)中,整理得按题意知,常数应满足例7设,其中有连续的二阶偏导数,求解设则例8（E04）设其中函数f有二阶连续偏导数，求和.解令记同理记例9（E05）设函数可微，在极坐标变换下，证明证为方便起见,我们从欲证等式的右端出发来证明.把函数视为的复合函数,即则所以例10设的所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换为极坐标系中的形式:(1);(2)解由直角坐标与极坐标间的关系式可把函数换成极坐表及的函数:故可用复合函数求导法则求出偏导数:、、、这里要看作由及复合而成.下

3、面分别计算之.(1)(2)(1)由直角坐标与极坐标间的关系式应用复合函数求导法则得两式平方后相加,得(2)利用(1)的结果,再求二阶偏导数,得同理可得两式相加,得全微分形式的不变性例11（E06）利用全微分形式不变性解本节的例2.设而求和.解因代入后归并含及的项,得即比较上式两边的、的系数,得它们与例2的结果一样.例12（E07）利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数.解所以例13求函数的全微分.解设则于是由代入上式,得[]例14已知求和.解故所求偏导数课堂练习1.设求2.设其中F是可微函数,证明3.设f具有二阶连续偏导数,求