复合函数的微分法

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1、§2复合函数微分法简单介绍多元复合函数及复合线路图“外二内二”型：z=/(x,y),兀=0($,“外三内二”型:w=/(x,y,z),x=0g),y=0g),z=〃(s,r);z=/(无,y)x=x(5,r,w)y=y(s.t,u)“外二内三”型(2个中间变量，3个自变量的情形):其中2定义在疋的某个开集E内，并且兀,y的值域在D内,z定义在疋的某个开集D内。复杂型:u=/(x,y,z),兀=0(s,/,z),y=p(s,r,z),z既是中间变量,又是自变量.一、复合函数的求导法则定理17.5(链导法则、链式法则P

2、118)以“外二内二”型复合函数为例.设函数兀=0($,/),y=i//(s,t)在点(5,/)eD可微，函数z=/(x,y)在点(x,y)=(0(s,/)〃($」))可微，则复合函数z*(0g),p(s,r))在点(s,r)可微,且dz+瓠)dydsdzdtdzdxdx(Ay)A?(M)dzI(4)证明P119注1：如果只是求复合函数的偏导数，链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数•但对外函数的可微性假设不能减弱.反例如P1I9的例：如果/的可微性条件不满足链式法则不一定成立.例：P119z=/(x,y

3、)=

4、^3—3/dxdtdydt“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可对所谓“外三内二”、“外二内三”、写出相应的链导公式.例如：1.“外二内一”情形z=/(x,y),x=Z，〉，=妙(/).有全导数公式:dtdxdtdydt外n元，内一元的复合两数为一元两数•特称该复合函数的导数为全导数.2•“外二内三”型：复合函数z=关于sg的偏导数有下列结果设/在点(x0,y0)GD可微，%0=%(50,r0,w0),y0=y(50,r0,w0)。又兀和y都在点(50,r0,w0)GE关于s.t.u的偏导数存在,则在

5、点($(„())有dz_dzdxdzdydz_dzdxdzdydz_dzdxdzdydsdxdsdydsdtdxdtdydt，dudxdudydu3.“夕卜三内二”型：设“=/(x,y,z),x=兀($,/),y=y(s,/),z=z(s9t).则dududxdudydudzdududxdudydudzdsdxdsdydsdzdsdtdxdtdydtdzdt4.对外加元/(绚山2,…““)，内“元叭=0(兀1，兀2,…,兀“)伙=1,2,・・・，加)，有蛍=士亜学,一,2,•••”dxiyzfdukdx(5.复杂型

6、：设u=f(x9y,t),x=x(5,ty=y(s,t).则3Z97rs-ar++ay.-d5ay-ar也2加97++ax一av9x-ar盹-ar盹-al一一=az--av37dztaTdtdt2cr)zr)z例1(P120)z=ln(w2+v),u=ex+y,u=〒+y•求一和一・dxdy例2(P120)设函数u=u(x,y)可微.在极坐标变换x=rcosy=rsin&下，证明例3P121例4(P121)用链导公式计算下列一元函数的导数：/八v小、(1+对)lnx(1)y=x；(2)y=—.sinx+cosx■

7、>rdzdz补例1z=u^v-uvu-xcosy,v=xsiny.求一和一・dxdy补例2z=(2x2+y)(3x+/),求车和賈dxdy补例3设函数/(w,v,w)可微.F(x,y,z)=f(x,xy,xyz).求耳、F).和代.补例4设函数f(u)可微,z=yf(x2一y2).求证歹2竿+巧竿=xz.dxdy二、复合函数的全微分1.一阶微分形式不变性一阶微分有个很重要性质一形式不变性。在多元函数中也有类似的性质.设z=/(x,y)是二元可微函数，如果兀y是自变量，贝IJ：dzdzfdz.—dx^r—dy.ox

8、dy(氐dy各自独立数值)(11)如果x?不是自变量而是中间变量，x=x(u^y=y(u^又设九y都可微，并且./>丿可以构成复合函数，那么:dzdzfdz.——du+—dvdudvazydzxaz-ax一一--一一孰+埶）+詈袪如帥）dzdy(1门（dx,dy如上，由u.v.du.d卩决定）。由（11）,（If）的dz可知一阶微分形式的不变性.2.微分的