《微分中值》word版

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1、思考与练习5-11.函数在点取得极大(小)值的定义是什么?函数在区间上的最大(小)值的定义是什么?答：设函数在区间内有定义,,若存在,对任意的有,则称函数在点取得极小(大)值,称点是函数的极小(大)值点,而函数值就称为函数的极小(大)值。设函数在区间内有定义,，若对任意，有，则函数值就称为函数的最小(大)值。2.最大(小)值是否一定是极大(小)值?反之如何?答：最大(小)值不一定是极大(小)值，极大(小)值不一定是最大(小)值。例如在闭区间上能取到最大值，但不是函数在区间中的极大值，也不是函数的极大值点。3.若函数在闭区间的端点取得最大值,且存在,

2、则是否有,为什么?答：若函数在闭区间的端点取得最大值,且存在,但不一定有。例如，在闭区间上能取到最大值，但。4.稳定点一定是极值点吗?稳定点的几何意义是什么?极值点一定是稳定点吗?答：稳定点不一定是极值点。函数在稳定点处对应的曲线上的点的切线平行于轴。极值点不一定是稳定点。5.费马定理说明了稳定点和极值点的什么关系?答：费马定理说明了若点是函数可导的极值点，则点一定是函数的稳定点。6.洛尔中值定理,拉格朗日中值定理和柯西中值定理之间有什么关系?答：拉格朗日中值定理是洛尔中值定理的推广，如果函数在闭区间上满足,由拉格朗日中值定理立即可得洛尔中值定理。

3、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，取,由柯西中值定理就可得到拉格朗日中值定理。7.证明拉格朗日中值定理所用的辅助函数是怎样构造的?还有其它的构造方法吗?答：教材中的辅助函数，即为函数与过原点的直线函数的差。还可令，即为函数与过点的直线函数的差。8.设,则柯西中值定理对于函数和在区间上是否成立.为什么?答:不能.,对任意的,所以对任意的,都没有.这是因为不满足柯西中值定理的条件(ⅲ).9.给定函数,是否一定存在函数使得?答：不一定。例如，不存在函数满足（其中是Dirichlet函数）。当在给定区间上连续时，才一定存在函数使得。10.求下列函数的稳

4、定点:①；②.解：①由，得稳定点为②由，得稳定点为：。11.试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点,使。①;②,.解①在闭区间,在闭区间上连续,且在两端点处,.在内,，即在内可导，根据罗尔定理:,使.②所以，当时，，当时，，在点不可导，故在内不存在，使的点.12.证明:①方程(这里为常数)在区间内无相异的实根;②方程(为正整数这里为实数)当为偶数时至多有两个实根;当为奇数时至多有三个实根;证①用反证法:设.若存在,使得.因为在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,应,使得,而这两点均不可能在区间内,此为矛盾.②(ⅰ)当为偶数时,用反证法:若存在为方程的

5、三个根,令.因为在和上连续,在上可导,由罗尔中值定理可得:,使,所以得,因为是奇数,所以,此为矛盾.所以方程当为偶数时至多有两个实根.(ⅱ)当为奇数时,用反证法:若存在为方程的四个根,令.依(ⅰ)相同的理由,.使,即,有三个实根.由于是偶数,这与(ⅰ)矛盾.所以方程当为奇数时至多有三个实根.13.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:①,其中;②,其中;③对任意实数,,都有;④.证：①设,函数满足拉格朗日中值定理的条件,所以存在,使.②设,则对任意的,在区间上连续且可导,函数满足拉格朗日中值定理的条件,所以,使.③令,则对任意的实数在(或上可导,且.

6、所以。④令,则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,故,使得,又,故14.若在区间上存在有界导数,试证:在上满足Lipschitz条件.(参看第三章第2节20题).证明：由于在区间上有界，所以存在常数，对任意的，有。利用拉格朗日中值定理，对任意，有，其中。15.设函数在上可导,证明:存在,使得=.证(ⅰ)若,则取,结论成立.(ⅱ)若且,则同样取,结论成立.(ⅲ)若,但.（ⅳ）若,且.则取,在区间上满足柯西中值定理的条件,所以,使。16.设函数在点处具有二阶导数,证明:.证设,因为函数在点处具有连续的二阶导数,所以在的某空心邻域内具有二阶连续导数,且,

7、根据定理5.6得16*.设函数在点处具有二阶导数,且，.由拉格朗日中值定理知,存在,使得.证明：.证17.设.证明存在,使得.证设,则在上满足:(1)连续;(2)可导.(3)对任意的，，（4）对任意的，.由柯西中值定理得，,使。思考与练习5-21.不定式有哪几种形式?答：不定式存在的形式有：，，。2.若存在,求证:.证由洛比达法则可得.上述证明正确吗?如果不正确,请说明理由,并给出正确的证明方法.答：不正确。因为题目条件只是存在，即题目没有条件“在点的某个邻域内二阶可导”，因而，对极限就不能使用洛比达法则；而且，题目也没有“在点连续”的条件，所以，

8、极限和不一定存在，当然，也就没有这样的运算结论。正确的证明方法是：3.用洛比达法则求极限对吗?为什么?怎样的计算方法才是正