《微分中值定理论》word版

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1、引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨

2、论一些方程根（零点）的存在性,和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。中值定理的内容及联系基本内容[4][5]对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理”。这三个定理的具体内容如下：Rolle定理若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使。Lagrange定理若在上连续，在内可导，则至少存在一点，使Cauchy定理设，在上连续，在内

3、可导，且，则至少存在一点，使得。三个中值定理之间的关系现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收

4、缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系，拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。7如果我们从几何的意义上

5、来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。定理的推广[6][7]前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数在上是连续，在内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间，把它推广到无限区间或，再把开区间推广到无限区间或的话，则这些定理是否还能满足条件，或

6、者我们能得出哪些相应的定理呢？通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。定理1若在上连续，在内可导，且，则至少存在一点，使成立。证明：令，则，即可得到关于参数函数当时，则即，，再令在上连续，在内可导，且，由Rolle定理可得到，使成立令，有，而.，使成立证毕定理2若在上连续，在内可导，并且，至少存在一点，使成立。定理2的证明可以参照定理1。7定理3若在上连续，在内可导，并且，则至少存在一点，使成立。证明：设，则，即可得到关于参数函数当时，

7、则即，，再令在上连续，在内可导，由Lagrange定理得，使成立即令，有，而，，使成立.证毕定理的应用通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，更主要的是学了要会用，这才是最关键的。利用定理证明方程根（零点）的存在性例1若在上连续，在内可导，证明在内方程。分析：由于题目是要求方程是否有根存在，所以可以先对方程进行变形，把方程变为。那么方程7有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有存在，所以可以利用不定积分把方程，转变

8、为。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道在区间上连续，在区间内可导，由函数的连续性和求导的概念，可以得到函数在上连续,在内可导，那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。证明:令，显然在上连续