双曲线与抛物线复习要点

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1、双曲线与抛物线复习要点山东省苍山县第三中学277700田丞13583915887邮箱sdtiancheng@sina.comQQ273500927双曲线和抛物线是继椭圆之后圆锥曲线的重要造成部分，在高考中也占有很大的比重。在复习该部分内容时，要从其定义及其几何性质入手。一、双曲线与抛物线的定义1.双曲线双曲线的定义具有“双向作用”。在其定义=2a(其中2a＜,a＞0)中，当－=2a或－=2a时，点P的轨迹是双曲线的一支。2.抛物线（1）抛物线定义的实质抛物线的定义可归纳为“一动三定”：一动点，设为点M；一定点F,叫做抛物线的焦点；一定直线l，叫做抛物线的准线；一定值，即点M到点F的距离和它

2、到直线l的距离之比等于1.（2）定义的应用由定义可知，抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，因此两种距离可以相互转化。凡涉及到抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为到准线的距离（此时，往往要充分利用直角梯形的性质），即=或=，它们在解题中有重要的作用，要注意运用。此外，应用定义通常可以解决两类问题：①求抛物线的标准方程；②涉及抛物线的最值问题。二、双曲线与抛物线的标准方程1.双曲线的标准方程求双曲线的标准方程和求椭圆的标准方程类似，主要有两种方法：一是定义法；二是待定系数法。此外，求双曲线的方程还可以用如下方法：（1）与双曲线=1有相同渐近线的双曲线方程可设为=(≠0)；若已知双曲线

3、的渐近线方程为=0，可设双曲线方程为=(≠0)。对以上两种形式，当＞0时，焦点在x轴上，当＜0时，焦点在y轴上；（2）当双曲线的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为=0(mn＜0)。以上方法实质是待定系数法。2.抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种形式，求其标准方程时，需要根据开口方向及焦点位置设其方程的形式。若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴时，为了避免繁杂的讨论和计算，可设其方程为或(a≠0)，此时，a不具有p的几何意义。三、双曲线与抛物线的几何性质1.双曲线的几何性质对双曲线的几何性质主要从以下几个角度来把握：（1）离心率与椭圆类似，求离心率的的值，要寻找，，之间的另

4、一等量关系；求离心率的的范围，则要寻求，，之间的不等关系，再由不等式求解，有时还要适当利用放缩法，体现了方程和不等式的数学思想。值得注意的是，双曲线中的“，，，”和椭圆中的“，，，”既相似又有区别，特别是在椭圆中＝+，而在双曲线中则有＝+，一定要注意他们的区别，切莫混淆。（2）求渐近线方程求双曲线方程通常要以下两种方法①若已知双曲线方程，可将双曲线方程中的“1”换成“0”，然后因式分解即可得渐近线方程。利用这个方法，可以避免把渐近线方程记错。②求双曲线的渐近线方程的目标就是求与的比值，故可以建立一个关于、方程，通过该方程确定与的比值即可。对双曲线的焦点三角形的处理方法和椭圆的焦点三角形的处

5、理方法相同，上期已经说明，本期不再重复。2.抛物线的几何性质抛物线的几何性质与椭圆、双曲线相比较，有较大差别，它的离心率为1，只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，没有对称中心、标准方程中只有一个参数p(其几何意义是焦点到准线的距离)。四、直线与双曲线抛物线的位置关系解决直线和双曲线相交主要采取“设而不求”的策略，即设出直线方程和两个交点坐标，然后把该方程与和双曲线方程联立得到关于x(或y)的方程，再利用根与系数的关系。在具体操作过程中，要注意以下几点：1.设直线方程时，要根据实际问题考虑直线斜率不存在的情况；2.若所得的方程的系数含有参数，要对数是否为0进行分类讨论。当该系数不为0时，要注

6、意其判别式△＞0；3.在双曲线中，要关注是交于两支或一支的问题，从而确定x和y的隐含范围限制。一般地，对双曲线=1(＞0，＞0)可利用直线的斜率与渐近线的斜率比较得出结论：若＞，则交点在同一支上；若＜，则交点在两支上。若直线过焦点，可考虑应双曲线的定义.此外，双曲线和抛物线都不是封闭曲线，它们有一个共同的特点：当直线与它们只有一个公共点时，不要只考虑相切这一种情形，而是有两种情形。考点卡片1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的的简单几何性质；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单性质。