向量在初等几何中的应用-辛彩梅

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1、向量在初等几何中的应用辛彩梅（包头师范学院数学科学学院）摘要：向量具有几何形式和代数形式的双重身份，在处理有关度量、角度、平行、垂直等问题时能使问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究使问题简化。关键词：向量的平行与垂直、数性积、矢性积、应用。第一部分向量的运算规律与定理和推论向量加法运算规律向量乘法运算规律向量数性积记做向量矢性积记做，它的方向与和都垂直三向量的混合积在右手直角坐标系{o,i,j,k}下用矢量的分量表示向量数性积、向量失性积及三向量的混合积：若则定理1设有向线

2、段的始点为，终点为，那么分有向线段成定比的分点P的坐标是推论设，，那么线段的中点坐标是定理2两向量与相互垂直的充要条件是定理3两向量与的共线的充要条件是定理4三向量、、共面的充要条件是第二部分向量在初等几何中的应用实例向量法与综合法、解析法被认为是研究初等几何的三种主要方法。向量法在处理有关度量、角度、平行、垂直等问题时有独到之处，用向量法使问题得到简化的例子是相当多的。一）向量在处理平行问题时的应用例1.证明：对角线相互平行的四边行是平行四边形。证:设四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点,且互

3、相平分，从上图可以看出：因此，//，且即四边形ABCD为平行四边形。二）向量在处理共点问题时的应用例2.已知三角形三顶点为,求的重心(即三角形三中线的公共点)的坐标。解:设三中线为,其中顶点的对边上的中点为,三中线的公共点为G(x,y,z),因此有,即重心G把中线分成定比.因此为的中点,所以根据公式有,再根据公式可得所以之重心为。三）向量在处理垂直问题时的应用例3．证明：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么它就和平面内任何直线都垂直。证：设直线n与平面a内两相交直线a与b都垂直，下面证

4、明n与a内任意直线c垂直。在直线n、a、b、c上分别任意取非零向量，依条件有，所以设，因而这表明两向量与互相垂直，也就是它们所在直线n与c互相垂直，从而直线n垂直于平面。四）向量在处理等距问题时的应用例4．证明：三角形各边的垂直平分线共点且这点到各顶点等距。证：设如图在ABC中O为AB与BC边垂直平分线交点，E、F、G分别为AB与BC、CA的中点。则有、，所以因为所以得到，即。所以三角形各边垂直平分线共点。又因为所以又所以所以又因为所以同理可证所以有由上面证明可知三角形各边的垂直平分线共点且这点到各

5、点等距。五）向量在求解和证明与角度有关问题时的应用例5：已知三角形ABC三点A（1，0，0），B（3，1，1），C（2，0，1），求：角C。解：因为所以因而所以。例6．证明正弦定理。证明：在ABC中，记=a,=b,=c,显然有可得acsinB=bcsinA所以。六）向量在解三角形中的应用例7．已知空间三点A（1，2，3），B（2，-1，5），C（3，2，-5），试求（1）三角形ABC的面积；（2）三角形的AB边上的高。解：（1）ABC的面积=ABCD的面积=，={1，-3，2}，={2，0，-8}所

6、以=从而=所以ABC的面积=。（2）因为ABC的AB边上的高CH即是ABDC的AB边上的高，所以=又因为=所以===。七）向量在处理共面问题时的应用例8．已知直角坐标系内A、B、C、D四点坐标，判别它们是否共面？如果不共面，求出以它们为顶点的四面体的体积。（1）A（1，0，1），B（4，4，6），C（2，2，3），D（10，14，17）；（2）A（2，3，1），B（4，1，-2），C（6，3，7），D（-5，4，8）。解：（1）由已知得={3，4，5}，={1，2，2}，={9，14，16}所以==

7、3（32-28）+（-1）（64-70）+9（8-10）=0所以A、B、C、D四点共面。解：（2）由已知得={2，-2，-3}，={4，0，6}，={-7，1，7}所以所以A、B、C、D四点不共面。又因为V=所以V=。主要参考文献：[1]《数学的原理与实践》高等教育出版社[2]《几何与线形代数》河海大学出版社[3]《线形代数与解析几何》北方交通大学出版社[4]《线形代数导论及其应用》东华书局印行[5]《解析几何》高等教育出版社