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时间:2018-10-27
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1、射影在初等几何中的简单应用:在初等几何的证明中,射影应用广泛。文章介绍了射影在初等几何证明题中五种的简单应用。 关键词:射影;初等几何;应用 :G633.63:A:1002-7661(2011)11-203-02 在解决初等几何的相关问题中,射影可以把空间关系平面化,简化问题。 一、射影与平面斜线段的长短的比较 有以下三个结论: 1、射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长;2、相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影较长;3、垂线段比任何一条斜线段都短。 例1如图1,已知,垂足为,是的斜线段,为垂足,参照图1,用数学语言写出上述三个结论。
2、 下面用一道例题,介绍斜线段的长短比较,在解题中的应用。 例2已知是所在平面外的一点,点与的距离相等,且点在上的射影在内,则一定是的_______心。 解:内心。如图2,过点作,,分别交于点。 连结。因为,为点在平面内的射影,所以,,,(三垂线定理)。又因为,到的距离相等,且,所以,。 又因为,在平面内的射影为,所以,。 又,,.即为的内心。证毕。 二、射影与垂足的确定 把空间一点向平面射影,射影点落在什么位置,往往成为解决问题的关键。 例3:如图3,把等腰直角三角形沿斜边旋转至△的位置,使。 求证:平面⊥平
3、面。 证明:由题设,知,作,为垂足, 则。所以,是△的外心,即的中点, 所以,,所以,。 所以,平面⊥平面。证毕。 三、射影与三垂线定理的构造 三垂线定理及其逆定理在立体几何中有着广泛的应用。应用定理的关键就是善于寻找射影。如图4,在平面内的射影为,为平面内的一条直线。则,。 例4:如图5,在四棱锥中,底面为矩形,, ,,.求证:。 证明:如图6,作,垂足为,连结。 则为的射影点,,为斜线段在平面上的射影。 由题设知,,且为的中点。 由知,,从而,,于是。 有三垂线定理知,。证毕。 四、射影与异面直线之间的距离 设空间有两条异面直线,作平面,使,垂足为
4、;又过直线,作平面,使,于是,记,过点向和的交线作垂线,垂足为,能证:就是异面直线之间的距离。因为=>,此外 用射影语言来刻画: 直线在垂面上的射影为一点,直线在平面上的射影为,此时,异面直线之间的距离即转化为射影与射影之间的距离。(如图7) 例4:已知正方体,求相邻两面上任意两条异面直线间的距离。 解:在正方体中,设为面上的直线,为面上的直线。首先构造一个平行平面,它包含直线,也平行于直线。(如图8) 在面上,过点作,由两直线与决定平面; 其次,构造一个与面相垂直的平面,为此,在面上,过作,连结,则面,因为 。面即为欲求作的垂面。垂面与的平行平面的交线为,而在垂面上的射
5、影为,在该面上的射影为。由此,异面直线之间的距离转化为两射影之间的距离。因此,由向作射线,垂足为,即为所求。 五、射影与最小角定理 最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。(如图9) 综上所述,在初等几何中,射影是把空间位置关系转化为平面关系的重要工具,有着广泛的应用。在教学中,应引起重视。
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