射影在初等几何中的简单应用

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1、射影在初等几何中的简单应用：在初等几何的证明中，射影应用广泛。文章介绍了射影在初等几何证明题中五种的简单应用。　　关键词：射影；初等几何；应用　　：G633.63：A：1002-7661（2011）11-203-02　　　　　　在解决初等几何的相关问题中，射影可以把空间关系平面化，简化问题。　　一、射影与平面斜线段的长短的比较　　有以下三个结论：　　1、射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；2、相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影较长；3、垂线段比任何一条斜线段都短。　　例1如图1，已知，垂足为，是的斜线段，为垂足，参照图1，用数学语言写出上述三个结论。　　　　　　　

2、　　　　　下面用一道例题，介绍斜线段的长短比较，在解题中的应用。　　例2已知是所在平面外的一点，点与的距离相等，且点在上的射影在内，则一定是的_______心。　　　　　　　　　　　　　　　　解：内心。如图2，过点作,,分别交于点。　　连结。因为，为点在平面内的射影，所以，,,（三垂线定理）。又因为，到的距离相等，且，所以，。　　又因为，在平面内的射影为，所以，。　　又,,.即为的内心。证毕。　　二、射影与垂足的确定　　把空间一点向平面射影，射影点落在什么位置，往往成为解决问题的关键。　　例3：如图3，把等腰直角三角形沿斜边旋转至△的位置，使。　　　　　　　　　　　　　　求证：平面⊥平

3、面。　　证明：由题设，知，作，为垂足，　　则。所以，是△的外心，即的中点，　　所以，，所以，。　　所以，平面⊥平面。证毕。　　三、射影与三垂线定理的构造　　三垂线定理及其逆定理在立体几何中有着广泛的应用。应用定理的关键就是善于寻找射影。如图4，在平面内的射影为，为平面内的一条直线。则，。　　　　例4：如图5，在四棱锥中，底面为矩形，，　　,,.求证：。　　证明：如图6，作，垂足为，连结。　　则为的射影点，，为斜线段在平面上的射影。　　由题设知，，且为的中点。　　由知，，从而，，于是。　　有三垂线定理知，。证毕。　　四、射影与异面直线之间的距离　　设空间有两条异面直线，作平面，使，垂足为

4、；又过直线，作平面，使，于是，记，过点向和的交线作垂线，垂足为，能证：就是异面直线之间的距离。因为=>,此外　　用射影语言来刻画：　　直线在垂面上的射影为一点，直线在平面上的射影为，此时，异面直线之间的距离即转化为射影与射影之间的距离。（如图7）　　例4：已知正方体，求相邻两面上任意两条异面直线间的距离。　　解：在正方体中，设为面上的直线，为面上的直线。首先构造一个平行平面，它包含直线，也平行于直线。（如图8）　　在面上，过点作，由两直线与决定平面；　　其次，构造一个与面相垂直的平面，为此，在面上，过作，连结，则面，因为　　。面即为欲求作的垂面。垂面与的平行平面的交线为，而在垂面上的射

5、影为，在该面上的射影为。由此，异面直线之间的距离转化为两射影之间的距离。因此，由向作射线，垂足为，即为所求。　　五、射影与最小角定理　　最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。（如图9）　　　　　　　　　　综上所述，在初等几何中，射影是把空间位置关系转化为平面关系的重要工具，有着广泛的应用。在教学中，应引起重视。