微分方程学习指导

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1、第十二章微分方程学习指导一、内容提要(一)基本概念1．微分方程——含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。2．微分方程的阶——微分方程中的未知函数的导数的最高阶数。3．微分方程的解——满足微分方程的函数4．通解——微分方程中带有独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解。5．特解——利用定解条件，确定通解中任意常数的解。6．定解条件——用来确定通解中的任意常数的条件，常见的定解条件是初始条件。(二)一阶微分方程的解法1．可分离变量方程解：2．齐次方程解：令，则，故3．一阶线性方程解：4．贝努利方程，解：令，则9再按线性方程的方法求解。5．全微分方

2、程(其中)解：存在，使，则(三)可降阶的高阶微分方程的解法1．用次不定积分求得方程的通解。2．令，则，得到一阶微分方程3．令，则，得到一阶微分方程(四)线性微分方程的解的结构设二阶线性齐次微分方程为①(1)它的个解的线性组合仍是方程的解；(2)它的两个线性无关的特解的线性组合是方程的通解。设二阶线性非齐次微分方程为②①式的通解与②式的一个特解之和是②式的通解9若，分别为方程的特解，则方程的一个特解为(五)二阶线性常系数齐次微分方程的解法设二阶线性常系数齐次微分方程为③的特征方程为(1)若，为两个不相等的实根，则③式的通解为(2)若，为两相等的实根

3、，则③式的通解为(3)若是一对共轭复根，则③式的通解为(六)二阶线性常系数非齐次微分方程的解法设二阶线性常系数非齐次微分方程为：(1)若，其中为的次多项式，则可令，其中为次多项式的标准型。(2)若，其中，分别是次、次多项式，则可令9其中，和是两个不同的次多项式。。二、学习方法指导1．许多科学及技术问题的研究都归结到解微分方程。例如：研究最简单的机械振动就有微分方程：，这是二阶微分方程。2．在初学本章时，首先要掌握微分方程的阶、解、通解、特解这四个基本定义。3．应当注意到，微分方程的通解不一定是所有解。如：是一阶微分方程的通解，但该微分方程还有另一

4、解，即。4．在解阶微分方程时，因为通解中有个任意常数，为确定是这个参数，初始条件包含时，函数的值及这函数的直到阶的导数在时的值。例如：当时，初始条件为：及5．在一阶微分方程一节中，学生必须能够识别这几种类型的微分方程并掌握它们的解法。6．在三种高阶微分方程的求解时，也首先要能够认识三种类型，然后要知道每一类型该用什么方法去解。7．在二阶及高阶线性微分方程的理论中，关于线性无关的解的概念有着重要的意义，同学应加深理解。8．应当注意到，如果常系数齐次线性方程的特征方程有复根，则对应于这两个根的线性无关的特解为和。9三、典型例题(一)一阶微分方程1．可

5、分离变量的方程例1．求微分方程的通解。解：原方程变形为：两边积分得通解：2．齐次方程例2．求方程的通解。解：将方程整理为令，则，原方程化为两边积分得将代入，得原方程的通解为即3．一阶线性微分方程例3：求微分方程的通解。解一：先求对应齐次方程的通解9令，则通解用常数变量法令，将代入原方程的标准型得：，则原方程的通解为解二：公式法，代入求解公式中，得例4．求微分方程的通解。解：用是关于的函数关系去看这个方程，它既不是变量可分离方程，又不是一阶线性微分方程，但是把作为的函数关系来看，则有。这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为：4．全微分方程例5．求微分

6、方程解：，所以此方程是全微分方程用不定积分法求解因所以9而即得，则，故通解为(二)可降阶的高阶微分方程例6：求方程。解：该方程既不显含，又不显含，两种解法均可，但应注意这时两种解法可能有难易程度的差别，应注意比较，选用较简单的方法。若令，则，方程化为：，这时求解比较繁，若令，则，方程化为，即所以而9可得方程的通解。(三)高阶线性微分方程例7：设二阶线性微分方程的3个特解为，，，求此方程满足条件，的特解。解：已知、、是方程的3个特解，则，是对应齐次方程的特解，且，故此二解为无关解，所以原方程的通解为由，，求得，，故所求特解为。例8：求方程的通解。解

7、：原方程化为对应齐次方程特征方程为特征根，则齐次方程的通解为对非齐次项的第一部分，由于是方程的特征根，故设对非齐次项的第二部分，由于不是特征根，故设。则非齐次方程的特解为9将及其一、二阶导数代入原方程，比较系数得，，，故原方程的通解为：例9：已知方程的一个特解，求它的通解。解：设，则，代入方程整理得，取，则，又与无关，原方程的通解为9