微分方程复习指导

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1、高等数学下册第一章内容提要:第9章微分方程内容提要—'基本概念1.微分方程:表示未知函数及其导数与自变量ZI'可的关系的方程，称为微分方程.2.微分方程的阶:微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.3.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数，称为微分方程的解(这个函数的图形，称为该微分方程的积分曲线).4.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，那么这样的解称为微分方程的通解.5.微分方程的初始条件:确定通解中任意常数的条件,称为微分

2、方程的初始条件.6.微分方程的特解:不含有任意常数的微分方程的解，称为微分方程的特解.二.微分方程的类型及其解法1•一阶微分方程方程类型标准形式求解方法变量可分离字=/(x)・gO)dx齐次型方程务虑)令工，代入得du_J(u)-udxx，再分离变量一阶线性微分方程才+P(x)尸Q(x)方法一:常数变易法方法二:公式法贝努利方程字+P(x)y=Q⑴才dxa工o,i)令2=化为一阶线性方程字+(—)P(x)z=(・)％)dx后再求解2.髙阶微分方程(1)可降阶的高阶微分方程.典型形式求解方法两边经过M次积分即可Z=了

3、(2)2=字令dx（不显含未知函数歹）虬/(")得必为一阶微分方程，再求解y"=/W)生二空•空+生人dxdydxdy（不显含自变量X）P塑=/0-p)得妙为一阶微分方程，再求解⑵二阶线性微分方程的解结构记二阶线性微分方程w+m/+Q（x）尸/⑴⑴对应的齐次方程为严+P（W+°（x）尸0⑵■若V为⑴的一个特解,儿儿为⑵的两个线性无关的特解，则P1+C2儿为⑵的通解y+巾】+%2为⑴的通解.注:对于力阶线性微分方程的解结构也有类似结论.（3）二阶常系数线性齐次微分方程的解法+e=O（p,<7为常数）首先写出对应于该方

4、程的特征方程护+pA-^q=0解此方程，求岀两特征值久”久2,根据久】談2的不同情形按下表写出通解.亀火2通解两个不相同的实根入，火2y=50"“+巾0*两个相的实根久】=玄y=（勺+巾桃"一对共辘复根y=cos住+勺sinA)（4）力阶常系数线性齐次微分方程的解法以上结论可推广至幷阶常系数线性齐次微分方程汕）+久严）+处严）+・・・+其中刃@=123,・・・〃）为常数根据特征方稈才+W'*2沪+…+久/+久=0的根的四种情况,分别写出对应的解:a）几为特征方程的单重实根，⑷有相应的一个解°b）几为特征方程的上重实

5、根,（4）有相应的上个解G代c)°士勿为特征方程的单重复根,(4)有相应的两个解cosbx,产sinbxd)°土勿为特征方程的上重共辘复根，⑷有相应的2k个解e"cos址严sinbx,X0°cosbx,x严sincosix,十"严sinbx若记以上求出的力个解为必⑴必⑴,・••必⑴则⑷的通解就是钳(X)+5("+・・・+(X)(5)二阶常系数线性菲齐次微分方程的解法Z+.^r+

6、的通解为+°1/1+巾兀而，的求法如下：当/(汇)为某些特殊类型函数时，用待定系数法求『•.a)“X)=严4(X)，其中久为常数，尺⑴为X的加次多项式则可设(5)的特解为歹二兀。,""”(6)[0,乂不是(3向特征方程的根，*=1,Q是(獅特征方程的单根；其中2,2是(3)的特征方程的二重根，2⑴为与'(X)同次的多项式.将⑹代入(5)比较系数可求出2"),从而求出》.历/(x)=[//(x)cos(dx+Px(x)sin無]其中九。均为常数，P-Pe分别为'次，力次多项式.则⑸的特解可设为(7)=xkeAx[Qm

7、(x)cos0x+Rm(x)sin0>x]A±加不是(3朋特征方程的根A±加是(3)的特征方程的单重根Cm(x)为加次多项式严=max{lfn)将⑺代入⑸比较同类项系数可求出2⑴,“⑴,从而求出复习指导:第9章微分方程学习指导一.解微分方程的方法解微分方程的问题一般分求通解和求特解两类，需要求特解时，先求其通解，然后将已知的初始条件代入通解，确定任意常数，得到特解。求通解吋首先要判断微分方程的类型，然后对不同类型的方程用不同的方法去解。所学的微分方程分类如下阶微分方程变量可分离：dx字=4-）齐次型方程：处'X）-

8、阶线性微分方程：”字+P（如Q（x）才（"0,1）贝努利方程：dx高阶微分方程可降阶的高阶微分方程严5)yt，=/（心严）（不显含未知函数》）Z=（不显含自变量X）常系数线性微分方程X+^yr+^y=/（x）（pg为常数）常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程才+吵+妙二0力阶常系数线性齐次微分方程严+”严+兀严+・・・+卩3+”=o常系数线性非齐