微分方程实验指导

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1、实验四种群数量的状态转移——微分方程一、实验目的及意义[1]归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；[2]掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型

2、。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。二、实验内容1．微分方程及方程组的解析求解法；2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；3．直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)；4．利用图形对解的特征作定性分析；5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。三、实验步骤1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；2．根据微分方程求解步骤编写M文件3．保存文件并

3、运行；4．观察运行结果(数值或图形)；5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）基础实验1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，y’=y+2x,y(0)=1,0

4、算结果，说明了什么问题？3．Rossler微分方程组：x'yzy'xayz'bz(xc)当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0,0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制(x)(x)11x2yx,33rr12yy1y2xy,33rr121/82.45,1,12222r(x)y,r(x)y121x(0

5、)1.2,x(0)0,y(0)0,y(0)1.04935751应用实验5．盐水的混合问题一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。开始时，容器内盐的含量为7千克。求经过时间t后容器内盐的含量。6．老鼠觅食有一个连续的很多个小老鼠笼子（正方形），它们首尾相连。在其前后两边的中央都开有一个洞，可供老鼠自由进出。并在右边放置鼠粮，左边未放鼠粮。老鼠在笼子里面只能够沿着笼子边沿（正

6、方形的四条边）沿左边或从右边向前通过。沿左边则吃不到鼠粮，只有沿右边才能够吃到鼠粮。在每个鼠笼子里，老鼠随机地选择左右之一向前行进。1)奖励型：如果老鼠沿右边吃到鼠粮后，则下次将毫不犹豫地沿右边，如果沿左边未吃到鼠粮，则下次将以1的概率向左。2)奖惩兼顾型：如果向右吃到鼠粮后，则下次向右的概率为1；如果向左未吃到鼠粮，则下次向左的概率为1。就这两种情况，分别建立并求解老鼠在第n次进入鼠笼子时向右能够吃到鼠粮的概率。并考察其无穷趋势。7.两种生物种群竞争模型两种相似的群体之间为了争夺有限的

7、同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistic规律，即有x1xx(1)111N1xxx(12)222N2其中x1(t),x2(t)分别为两种生物种群在时刻t的数量，λλ分别为其自然增长率，1，2NN是它们各自的最大容量。1，2当两个种群在同一个自然环境下生存时，乙消耗的同一自然资源对甲的增长产生了阻滞作用，设为x21N2甲对

8、乙的阻滞作用设为x12N1由于生物种群的数量很大，可视为时间t的连续可微函数。生物种群的相互竞争模型为x1x2xx(1)1111N1N2xxxx(121)2222NN211）m2(m1)为种群乙(甲)占据甲(乙)的位置的数量，并且m2=αx2;m1=βx1。计算x1(t),x2(t),画出图形及相轨迹图。解释其解变化过程。2）改变λλ,N1,N2,而α1，α2不变，计算并分析结果；若α1=1.5，α2=0.7，1，2再分析结果。