实验2微分方程(基础实验

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1、项目四无穷级数与微分方程实验2微分方程（基础实验）实验目的理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1.求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve命令来求其通解或特解.例如,求方程的通解,输入DSolve[y''[x]+3y'[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:注:在上述命令中,一阶导数符号'是通过键盘上的单引号'输入的,二阶导数符号''要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的

2、初值问题:输入Dsolve[{y''[x]+4y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6,y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*)则输出2.求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve命令来求其特解.例如要求方程的近似解,输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}](*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*)则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},<>]}}注:因为NDSolve

3、命令得到的输出是解的近似值.首先在区间[0,1.5]内插入一系列点,计算出在这些点上函数的近似值,再通过插值方法得到在区间上的近似解.3.一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为的形式,其中是已知函数.上述微分方程表明:未知函数在点处的斜率等于函数在点处的函数值.因此,可在平面上的每一点,作出过该点的以为斜率的一条很短的直线(即是未知函数的切线).这样得到的一个图形就是微分方程的方向场.为了便于观察,实际上只要在平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的切线.顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程的近似的积分曲128线.例如,画出的方向场.输入<

4、cs`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形（图2.1）,从图中可以观察到,当初始条件为时,这个微分方程的解介于和1之间,且当x趋向于或时,分别趋向于与1.图2.1图2.2下面求解这个微分方程,并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解.输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y

5、[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}];Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解,以及解曲线与方向场的图形（图2.2）.从图中可以看到,微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve命令求解微分方程例2.1(教材例2.1)求微分方程的通解.输入Clear[x,y];DSolve[y'[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp

6、[-x^2],y[x],x]则输出微分方程的通解:其中C[1]是任意常数.例2.2(教材例2.2)求微分方程在初始条件下的特解.输入Clear[x,y];DSolve[{x*y'[x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2E},y[x],x]则输出所求特解:128例2.3(教材例2.3)求微分方程的通解.输入DSolve[y''[x]-2y'[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:例2.4(教材例2.4)求解微分方程,并作出其积分曲线.输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5

7、,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形（图2.3）.图2.3例2.5(教材例2.5)求微分方程组在初始条件下的特解.输入Clear[x,y,t];DSolve[{x'[t]+x[t]+2y[t]==Exp[t],y'[t]-x[t]-y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x