数学建模实验报告 (2)微分方程

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1、数学模型实验报告——微分方程专业：姓名：李学号：姓名：刘学号：姓名：汪学号：数学模型实验报告（微分方程）一、实验目的：1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解.2、学会用Matlab求微分方程的数值解.二、实验内容：1、求简单微分方程的解析解.求微分方程（组）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始条件’,‘自变量’)记号:在表达微分方程时，用字母D表示求微分，D2、D3等表示求高阶微分.任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由系统规则选定为确省.例如，微分方程应表达为：D2y=0.2、求微分方程的数值解.（一）常微分方程数值解的定义在生产

2、和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解。而在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式。因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的。（二）建立数值解法的一些途径1、用差商代替导数若步长h较小，则有故有公式：此即欧拉法。2、使用数值积分对方程y’=f(x,y),两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：故有公式：实际应用时，与欧拉公式结合使用：此即改进的欧拉法。3、使用泰勒公式以此方法为基础，有龙格-库塔法、线性多步法等方法。4、数值公式的精度当一个数值公式的截断误差可表示为O（hk+1）时（k

3、为正整数，h为步长），称它是一个k阶公式。k越大，则数值公式的精度越高。•欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式。•龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式。•线性多步法有四阶阿达姆斯外插公式和内插公式。注意:1、在解n个未知函数的方程组时，x0和x均为n维向量，m-文件中的待解方程组应以x的分量形式写成.2、使用Matlab软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组.3、数学建模实例导弹追踪问题设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线

4、方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？解法一（解析法）假设导弹在t时刻的位置为P(x(t),y(t))，乙舰位于.由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线PQ就是导弹的轨迹曲线弧OP在点P处的切线，即有即(1)又根据题意，弧OP的长度为的5倍，即(2)由(1),(2)消去t整理得模型:%chase1clearx=0:0.01:1;y=-5*(1-x).^(4/5)/8+5*(1-x).^(6/5)/12+5/24;plot(x,y,'*')初值条件为:解即为导弹的运行轨迹:当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中.被击中时间为:.若v0=1,则在t=0.21处被击中.轨迹图见程序chase1

5、解法二(数值解)令y1=y,y2=y1’，将方程（3）化为一阶微分方程组。1.建立m-文件eq1.mfunctiondy=eq1(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：x0=0，xf=0.9999[x,y]=ode15s('eq1',[x0xf],[00]);plot(x,y(:,1),’b.')holdony=0:0.01:2;plot(1,y,’b*')结论:导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰解法三(建立参数方程求数值解)设时刻t乙舰的

6、坐标为(X(t)，Y(t))，导弹的坐标为(x(t)，y(t)).1．设导弹速度恒为，则（1）2.由于弹头始终对准乙舰，故导弹的速度平行于乙舰与导弹头位置的差向量，即：，（2）消去λ得：（3）3．因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，则w=5，X=1，Y=t因此导弹运动轨迹的参数方程为：4.解导弹运动轨迹的参数方程建立m-文件eq2.m如下：functiondy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2)

7、)^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')5.结果见图1图1图2导弹大致在（1，0.2）处击中乙舰，与前面的结论一致.在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21时，得图2.结论：时刻t=0.21时，导弹在（1，0.21）处击