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《常微分方程学习指导_二_》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第17卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol.17No.32004年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)June2004文章编号:1006-7353(2004)03-0012(04)-06常微分方程学习指导(二)徐胜林(华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079)[1]摘要:本文对常微分方程的第三、四、六章进行了归纳、总结,剖析了重点、难点,并通过典型例题介绍了解题思路、方法和技巧,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本
2、方法,提高学生的解题能力。关键词:常微分方程;基本概念;基本方法;典型例题中图分类号:O175.1文献标识码:A[1]常微分方程的第三、四、六章分别对于二阶线性常微分方程介绍了二阶常微分方程的基本理论和求解方y+p(x)y+q(x)y=0(1)法、常微分方程的解的存在唯一性定理、微分和y+p(x)y+q(x)y=f(x)(2)方程组的一般概念和基本理论。本文对这几1)如果y1(x),y2(x)是齐次方程(1)部分内容进行了归纳、总结,剖析了重点、难的两个解,则y=C1y1(x)+C2y2
3、(x)也是点,并通过典型例题介绍解题思路、方法和技齐次方程(1)的解,其中C1,C2为任意常数。巧,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基2)如果y1(x),y2(x)是齐次方程(1)的两个解,则它们线性相关的充要条件是它本方法,提高学生的解题能力。们的朗斯基行列式1.关于二阶微分方程y1(x)y2(x)二阶常微分方程的一般形式为F(x,y,W(x)=0y1(x)y2(x)y,y)=0或者显式y=f(x,y,y)。就二3)如果y1(x),y2(x)是齐次方程(1)阶常微分方程的内容而言可以包含在一般的的两个
4、线性无关的解,则y=C1y1(x)+n(n2)阶常微分方程之中,一般的n(nC2y2(x)是齐次方程(1)的通解,其中C1,2)阶常微分方程的研究处理难度很大,一C2为任意常数。是类型多,二是技巧性强。通过研究二阶常微4)设y1(x),y2(x)是齐次方程(1)的分方程的解法和解的结构,可以作为研究两个解,W(x)是它们的朗斯基行列式,则对n(n2)阶常微分方程的入门。通过本章的解的存在区间I上的任一x0有W(x)=学习,要求学生了解二阶线性常微分方程的x-p()dx基本理论,熟练掌握二阶常系数线性齐次方W
5、(x0)e0,此关系式称为刘维尔程和二阶常系数线性非齐次方程的基本解(Liouville)公式。法:待定系数法和常数变易法,掌握用降阶法5)若已知y1(x)是齐次方程(1)的一个求几类特殊的高阶方程的解的方法和技巧。解,则可利用刘维尔公式求得一个与它线性1.1二阶线性常微分方程解的一般理论无关的解收稿日期:2004-05-1112第17卷第3期高等函授学报(自然科学版)Vol.17No.32004年6月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Jun
6、e2004x-tp()dxdt轭复根r1=+i,r2=-i,则方程(3)y2=y1e02xyx01(t)的通解为y=e(C1cosx+C2sinx),其中6)如果y1(x),y2(x),,yk(x)分别C1,C2为任意常数。是方程y+p(x)y+q(x)y=fi(x)的解4)尤拉方程是一个特殊的二阶变系数(i=1,2,,k),则y(x)=C1y1(x)+线性齐次方程,它的一般形式是ax2y+C2y2(x)++Ckyk(x)便是方程y+bxy+cy=0,它可以通过变量代换化为
7、常p(x)y+q(x)y=C1f1(x)+C2f2(x)+系数的线性齐次方程来进行求解。通过变量t+Ckfk(x)的解,其中C1,C2,,Ck为任代换x=e后,可将它化为常系数方程2意常数。此结果称为非齐次方程的叠加原理。dydya2+(b-a)+cy=0,求解后再代回7)设y(x)是非齐次方程(2)的一个特dtdt解,y1(x),y2(x)是对应齐次方程(1)的两原来的变量即可求得原方程的解。个线性无关的解,则y=C1y1(x)+1.3二阶常系数线性非齐次方程的解法对于二阶常系数线性非齐次方程C2y2(x)+
8、y(x)是方程(2)的通解,其中ay+by+cy=f(x)(4)C1,C2为任意常数。其中系数a0,系数a,b,c都是常数。8)在已知齐次方程(1)的通解y=由二阶线性常微分方程解的一般理论可C1y1(x)+C2y2(x)的情况下,可以通过常数知:非齐次方程(4)的通解等于它对应齐次变易法去求非齐次方程(2)的一个特解。方
