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1、第17卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vol.17No.22004年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)April2004文章编号:1006-7353(2004)02-0017(05)-06常微分方程学习指导(一)徐胜林(华中师范大学数学与统计学学院,湖北武汉430079)[1]摘要:本文对常微分方程的第一、二章进行了归纳总结,剖析了重、难点,并通过典型例题介绍解题思路、方法和技巧,以帮助学生进一步理解基本
2、概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。关键词:常微分方程;基本概念;一阶线性方程中图分类号:O175.1文献标识码:A近些年来,常微分方程的研究与应用已[1]的目的,本文对教材常微分方程的第经深入到自然科学和社会科学的众多领域一、二章进行了归纳总结,剖析了重、难点,并(如物理、力学工程、化学、生物学、生态学、经通过典型例题介绍解题思路、方法和技巧,以济学、医学等),并且成功地揭示了许多自然帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方和社会现象的内在规律。常微分方程的主要法,提高
3、学生的解题能力。任务是:(1)根据实际问题建立微分方程及1.常微分方程的基本概念其相应的初值条件,即建立数学模型。(2)求1.1什么是微分方程出微分方程的通解或满足初值条件的特解。一般说来,微分方程就是联系自变量、未如果无法求解,则设法讨论解的性质。(3)根知函数以及未知函数的某些导数之间的关系据已获得的解或解的性质,作出相应的解释。式。如果其中的未知函数只与一个自变量有本课程介绍基本类型的常微分方程的解关,则称为常微分方程;如果未知函数是两个的存在性、解的性质以及解法。其主要内容如或两个以上自变
4、量的函数,并且在方程中出下:常微分方程的基本概念,方程的初等积分现偏导数,则称为偏微分方程。常微分方程的法和其求解方法,解的存在性及连续依赖性一般形式是等基本理论,线性方程(组)解的结构,非线(n)F(x,y,y,,y)=0(1)性方程(组)解的稳定性及判别法。或者是显式(n)(n-1)本课程既有常微分方程的各种解法,又y=f(x,y,y,,y)(2)有较多的理论推证,它涉及到数学分析、高等方程(1)中,未知函数的最高阶导数,叫代数等多门基础课程的知识,内容比较复杂,做微分方程的阶。对函授
5、学生来说,学习起来具有一定的困难。方程(1)中,如果左端关于未知函数y(n)为了加深学生对概念的理解和掌握,并能正以及它的各阶导数y,y,,y的全体而确运用各种公式,熟悉各种解法,从而达到真言是一次的,则称它是线性常微分方程,否则正掌握所学知识和提高抽象思维、逻辑推理称它是非线性常微分方程。收稿日期:2004-03-2117第17卷第2期高等函授学报(自然科学版)Vol.17No.22004年4月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalS
6、ciences)April2004在具体求解一个常微分方程之前,判断等积分法,而可用积分法求解的方程叫做可清楚一个常微分方程的阶数以及是否是线性积类型。初等积分法一直被认为是常微分方的非常重要,因为不同类型的常微分方程的程中非常有用的基本解题方法之一。求解方法不一样,这一点在后面几章将做详在学习过程中,学生首先要理解清楚有细介绍。关的概念和理论,学会准确判断方程的可积1.2常微分方程的解类型,然后要熟练掌握针对不同可积类型的自身及其各阶导数满足常微分方程的函几种解法,注意总结初等积分法中的各种解数
7、,叫做常微分方程的解。n阶常微分方程法的特点与内在联系,以提高自己的解题能(2)的解的个数一般是无穷多的,包含n个力与技巧。独立的任意常数的解族y=(x,c1,c2,,2.1主要概念cn),叫做常微分方程(2)的通解。这里所说dy可分离变量方程:形如=f(x)g(y)dx的关于n个独立的任意常数的确切含义指的或M1(x)N1(y)dx=M2(x)N2(y)dx的是Jacobi行列式方程。(n-1)D(,,,)0dyyD(c1,c2,,cn)齐次方程:形如=的方程。dxx注意
8、不是任何一个方程都有通解,一阶线性方程:一阶线性方程的形式是22例如,方程y+y=0只有解y=0,而无含dydy+p(x)y=f(x),如果f(x)0,即任意独立常数的通解;通解不一定包含了dxdx+p(x)y=0,称为一阶线性齐次方程。如果dy一个方程的全部解,例如,方程=dxdyf(x)不恒为零,则称+p(x)y=f(x)22dx1-y/1-x有通解y=sin(arcsinx+为一阶线性非齐次方程。c),另外该方程还有常数解y=1不包含在dy通解中。因此在求常微分方程的
