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1、第38课数乘向量及坐标运算●考试目标主词填空1.实数与向量的积a与λa同向的充要条件是λ>0.a与λa反向的充要条件是λ<0.λ·(a+b)=λa+λbλ·(a-b)=λa-λb设a=(x,y),则λa=(λx,λy).2.向量的坐标运算设a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2且y1-y2,a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1=0.3.三点共线的充要条件A、B、C三点共线存在λ∈R,使=λ.4.平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a有且只有一对数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2、●题型示例点津归纳【例1】设e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D三点共线，求k值.【解前点津】因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ由此等式可得关于λ,k的方程组，从而可求得k值.【规范解答】由条件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因A、B、D三点共线，故存在实数λ,使=λ,所以2e1+ke2=λ(e1-e2)λ=2且k=-4λ,∴k=-8.【解后归纳】利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.例2题图【例2】一艘船以5km/h速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角
3、，求水流速度与船的实际速度.【解前点津】用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.【规范解答】如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度，∠AOC=30°,
4、
5、=5km/h.∵OACB为矩形，
6、
7、=
8、
9、·cot30°=
10、
11、·cot30°=5=8.66(km/h),
12、
13、=10km/h.所以，水流速度为8.66km/h,船实际速度为10km/h.【解后归纳】有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功.【例3】(1)证明:三个两两不平行的向量a,b,c可以
14、构成一个三角形(每个向量的始点重合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a+b+c=0.(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.【解前点津】利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论.【规范解答】(1)充分性:∵a+b+c=0,∴a+b=-c根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c可以构成一个三角形;必要性:∵向量a、b、c可以构成一个三角形，∴不妨设在△ABC中,=a,=b,=c,根据多边形法则,∵++==0,∴a+b+c=0.例3题图(2)如图，D、E、F分别是△ABC中三边的中点，因为=+=+,=+=+,=+=
15、+BC.∴将上述三式相加得,++=(++)=·0=0.【解后归纳】熟练应用“三角形”法则以及“多边形法则”，是必须具备的一项“基本功”.【例4】用向量法证明:三角形三中线交于一点.【解前点津】在△ABC中,G是AD与BE的交点,连接AB的中点F与G及GC,欲证三中线共点，只须证明:G在中线CF上，从而只须证明与共线.例4题图【规范解答】∵=+,=+,∴=(+)+(+)①又∵=+,=+,∴两式相减得:+=(+)即(+)=(+)代入①消去+得=(+)+(+)=(+)②∵=+,=+,∴2=(+)③比较②③得=2,∴∥,∴C、G、F在一条直线上，故G在中线AF上.【解后归纳】证明“线共点
16、”或“点共线”问题，常转化为向量共线的问题.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.设e1,e2是同一平面内的两个非零向量，则有()A.e1∥e2B.
17、e1
18、=
19、e2
20、C.同一平面内的任一向量a,都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R)D.若e1与e2不共线，则同一平面内的任一向量a,都存在实数λ,μ,使a=λe1+μe22.已知a=e1-2e2,b=2e1+e2,且e1,e2是不共线的非零向量，则a+b与c=6e1-2e2的关系是()A.不共线B.共线C.相等D.无法确定3.已知向量e1,e2不共线，实数x,y满足:(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于
21、()A.3B.-3C.0D.24.若a,b不共线,且λa+μb=0(λ,μ∈R),则()A.λ·μ=1B.λ·μ=-1C.λ=μ=0D.λ,μ不确定5.已知a,b不共线，且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c,b共线,则λ1=()A.2B.1C.-1D.06.若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则()A.=B.=()C.=2D.=()7.已知=(x,y),点B的坐标为(-2,1),则的坐标为()A.(x-2,y+1)B.(x+2,y-1)C.(-2-x,1-y)D
