空间向量的数乘运算

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1、导入新课复习上一节课,我们借助“类比思想”把平面向量的有关概念及加减运算扩展到了空间.认真回顾已学知识(1)加法法则及减法法则平行四边形法则或三角形法则.(2)运算律加法交换律及结合律.两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的.因为：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.我们知道平面向量还有数乘运算及相应的运算律.借助类比思想,同样可以定义空间向量的数乘运算及相应的运算律．3.1.2空间向量的数乘运算教学目标知识目标正确理解共线、方向向量等基本概念；初步

2、掌握数乘运算，理解运算律；熟练掌握共线向量基本定理、推论及应用.能力目标经历知识形成探索过程，体验“类比”思想，并逐步学会“分析、归纳、抽象、概括等思维方法.情感目标1.通过自主探究与合作交流，不断体验“成功”，激发学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；2.通过类比思想和方法的应用，感受和体会数学思想的魅力，培养学“做数学”的习惯和热情.教学重难点重点难点共线向量概念、基本定理及推论．共线概念的正确理解及较复杂的三点共线判定.知识要点1.空间向量数乘运算的定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplicati

3、onofvetorbysalar）运算.（1）结果仍然是一个向量;（2）方向:当λ>0时，λa与a方向相同;当λ<0时，λa与a方向相反;当λ=0时，λa是零向量0;（3）大小:λa的长度是a长度的

4、λ

5、倍.aaλa(λ>0)λa(λ<0)2.数乘运算的运算律显然，空间向量的数乘运算满足分配律及结合律知识要点（1）λa与a之间是什么关系？（2）λa与a所在直线之间的关系？思考！对于空间向量的数乘运算的运算律的证明，方法与证明平面向量数乘运算的运算律类似.3.共线向量（或平行向量）的定义表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量（coll

6、inervectors）或平行向量（parallelvectors）记作知识要点（1）向量平行与直线平行的比较;（2）关注零向量;（3）对空间任意两个向量a与b,如果,那么a与b有什么相等关系?反过来呢?思考！零向量与任何向量平行（1）当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行线;（2）当我们说a//b时，也具有同样的意义.知识要点4.共线向量基本定理对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a//b的充要条件是存在实数λ，使a=λb（1）b≠0的理解.若b=0，则a任意，λ不唯一;（2）若a//b，b//c，则a一定平行于

7、c吗？（不一定，考虑中间向量为零向量）5.共线向量基本定理的推论如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对于空间任意一点像O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP=OA+ta.(1)aPB其中向量a叫做直线l的方向向量（directionvector）在l上取AB=a，则(1)式可化为OP=(1-t)OA+tOB.(2)说明:(1),(2)都叫做空间直线的向量参数表示式.由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.6.共面向量定义平行于同一平面的向量，叫做共面向量（coplanarvectors）.空间任意两个向量总是共面的，但

8、空间任意三个向量既可能是共面的，也可能是不共面的.知识要点7.共面向量的定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x、y），使p=xa+yb8.共面向量的定理的推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x、y，使MP=xMA+yMB或对空间任一定点O，有OP=OM+xMA+yMB.MaAbBA'pP对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式（其中x+y+z=1）的四点P、A、B、C是否共面？探究原式可以变形为解答所以，点P与点A，B，C共面.如下图，已知平行四边形ABCD，过平面A

9、C外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使例题求证：四点E、F、G、H共面.分析:欲证E，F，G，H四点共面，只需证明EH，EF，EG共面.下面我们利用AD，AB，AC共面来证明.证明:因为所以OE=kOA，OF=kOB，OG=kOC，OH=kOD.由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+AD.解答由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.因此课堂小结1.空间向量的数乘运算.2.空间向量的数乘运算的运算律.满足分配律及结合律.3.共线向量与共面向量共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合.平行于同一平面的

10、向量,叫做共面向量.定理