[理学]非数学专业高等数学竞赛模拟六套试卷及答案2011最新版

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1、合肥工业大学2011年大学生(非数学)高数竞赛模拟题及答案(一)一、简答题:1.求,其中.分析:当时,原式为型,当时,原式为型解:当时,原式,其中,故原式=.当时原式2.求不定积分,其中:.解:令:,代入有:,故有:,所以,原式=.3.设二阶线性微分方程(均为常数)有特解,求此方程的通解.解:由题设可知函数均为该方程相应的齐次线性微分方程特解,为原方程的一个特解,故此方程的通解为.4.设求函数u在点M(1,1,1)处沿曲面31在点M处的外法线方向的方向导数解:,即为曲面的外法线方向,又5.设曲线是平面与球面的交线,试求积分.解:利用对称性,因于是积分为:.二、设当时,方程有且仅有一个

2、解,求的取值范围.解:设,1)当时,单减,又(其中当时,只有一个零点.2)当时,令得唯一驻点且是内的极小值,也是最小值,31当得,此时方程有且仅有一个根;当得,此时方程无根;当得,方程恰有两个根.当或时,方程有且有一根.三、求最小的实数C,对于连续函数,总有成立。解:一方面,,另一方面令,则有:,而,从而最小实数.四、设其中函数具有二阶连续偏导数,证明:证明:,两边对x求导得结合方程(2)得又同理,原方程组两边对y求导得31故五、设球和球的公共部分体积为时,求的表面位于内的部分的面积.解:记,其中是在平面上的投影,的体积由题设.由此得的面积.六、设函数是方程满足条件的特解,求广义积分

3、.解:方程的通解为,方程的特解可设为代人原方程可解得31,所以方程的通解为,由初始条件可得,所以,考察函数,则,当时,,故函数在上是单增的,因而当时有,所以当时有,所以当,时,当,时,由此可得,而,,所以.七、设,其中是曲面的第一卦限部分上侧,求满足的二阶可导函数,使得是某个二元函数的全微分.解:其中,分别是在平面与平面上的投影,方向分别为右侧与前侧,是31在平面上的投影,方向为下侧,其中:而由于是某个二元函数的全微分,所以对应的齐次方程通解为,此外(1)有特解,所以(1)的通解为,由得方程组解因此.合肥工业大学2011年大学生(非数学)高数竞赛模拟题答案(二)一、简答题:1.求.解

4、:由于31所以于是由夹逼准则.2.设,求曲线与x轴所围封闭图形的面积S.解:首先,寻找函数的零点。容易看出,x=-1是一个零点,再由积分的奇偶性可得到另一个零点x=1;而在上单调递减,在上单调递增,可知不存在其他的零点。其次,注意到函数在上取负数,故:S==.3.设函数f(x,y)可微,且对任意x,y,t,满足,是曲面上的一点,求当时,在点处的法线方程.解:两边对t求导得将代入得将代入上式得由及得.所以在点处的法向量,故法线方程为4.设连续函数在u=0处可导,且,。试求:.31解:=因此,原式=.5.求方程的通解.解:令则方程可变化为,方程的通解为,方程的特解可设为代人方程解得,所以

5、,方程的特解可设为代人方程解得,由此可得原方程通解为.二、设函数在上可微,且对满足证明:分析:令当时,单增,存在或为,设,则对在上利用公式得存在,使得令,对上式两边取极限得即,而31矛盾,.三、是否存在上的连续函数,使得:与成立解:不存在。事实上,=如果两不等式同时成立,则有,,矛盾!四、设二元函数,其定义域为(1)设点求过点的方向向量,使为最大,并记此最大值为.(2)设在D的边界上变动,求的最大值.解:(1)使最大的方向为.(2)设,下面求在条件下的最大值.令,由31(1)+(2)得,若再由(3)式得,若,由式(3)得.于是得4个可能极值点:,而,故最大值.五、设在上半平面内,函数

6、具有连续偏导数,且对任意的都有.证明:对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有.证明:由格林公式知,对D内的任意有向简单闭曲线L,的充分必要条件是:对任意,有由于对任意的及都有,两边对t求导,得.令,得.所以.六、设在区间上有连续的导数,且,证明级数条件收敛.证明:由可得,又连续,故,当时恒有,因而在上单增,由此可得当时31单减,且,由莱布尼茨判别法知级数收敛.又当时由Lagrange中值定理可知使得,而级数是发散的,从而级数也是发散的,因此级数条件收敛.七、设函数在区间[0,1]上具有连续导数,,且满足,其中.求的表达式.解:又,由题设有两边求导整理得,解得将代入得故合肥工业大

7、学2011年大学生(非数学)高数竞赛模拟题答案(三)一、简答题1.求极限,其中二元函数具有连续偏导数,且对均有。解:,31因为时,对等式两边关于同时求导可得,令,可得,因而有,故原式。2.求的整数部分。解:由于时有,因而有,又时有,所以,所以的整数部分是。3.求经过直线且与椭球面相切的平面方程。解:设切点为,则椭球面在该点处的切平面方程为,由题设有解得或者因而所求的平面方程为或。4.设是由锥面与半球面围成的空间区域,是的整个边界的外侧,计算。解:由高斯公式

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