[理学]非数学专业高等数学竞赛模拟六套试卷及答案2011最新版

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1、合肥工业大学2011年大学生（非数学）高数竞赛模拟题及答案（一）一、简答题：1.求，其中.分析：当时，原式为型，当时，原式为型解：当时，原式，其中，故原式=.当时原式2．求不定积分，其中：.解：令：，代入有：,故有：,所以，原式=.3．设二阶线性微分方程（均为常数）有特解，求此方程的通解.解：由题设可知函数均为该方程相应的齐次线性微分方程特解，为原方程的一个特解，故此方程的通解为.4.设求函数u在点M(1,1,1)处沿曲面31在点M处的外法线方向的方向导数解：，即为曲面的外法线方向，又5.设曲线是平面与球面的交线，试求积分.解：利用对称性，因于是积分为：.二、设当时，方程有且仅有一个

2、解，求的取值范围.解：设,1）当时，单减，又（其中当时，只有一个零点.2）当时，令得唯一驻点且是内的极小值，也是最小值,31当得，此时方程有且仅有一个根;当得，此时方程无根;当得，方程恰有两个根.当或时，方程有且有一根.三、求最小的实数C，对于连续函数，总有成立。解：一方面，,另一方面令，则有：,而,从而最小实数.四、设其中函数具有二阶连续偏导数，证明：证明:，两边对x求导得结合方程（2）得又同理，原方程组两边对y求导得31故五、设球和球的公共部分体积为时，求的表面位于内的部分的面积.解：记,其中是在平面上的投影,的体积由题设.由此得的面积.六、设函数是方程满足条件的特解，求广义积分

3、.解：方程的通解为，方程的特解可设为代人原方程可解得31，所以方程的通解为，由初始条件可得，所以，考察函数，则，当时,,故函数在上是单增的，因而当时有，所以当时有,所以当,时，当,时，由此可得，而，，所以.七、设，其中是曲面的第一卦限部分上侧，求满足的二阶可导函数，使得是某个二元函数的全微分.解:其中，分别是在平面与平面上的投影，方向分别为右侧与前侧，是31在平面上的投影，方向为下侧，其中：而由于是某个二元函数的全微分,所以对应的齐次方程通解为，此外（1）有特解，所以（1）的通解为，由得方程组解因此.合肥工业大学2011年大学生（非数学）高数竞赛模拟题答案（二）一、简答题：1．求.解

4、：由于31所以于是由夹逼准则.2．设，求曲线与x轴所围封闭图形的面积S.解：首先，寻找函数的零点。容易看出，x=-1是一个零点，再由积分的奇偶性可得到另一个零点x=1；而在上单调递减，在上单调递增，可知不存在其他的零点。其次，注意到函数在上取负数，故：S==.3．设函数f（x，y)可微，且对任意x,y,t,满足，是曲面上的一点，求当时，在点处的法线方程.解：两边对t求导得将代入得将代入上式得由及得.所以在点处的法向量，故法线方程为4．设连续函数在u=0处可导,且，。试求：.31解：=因此，原式=.5．求方程的通解.解：令则方程可变化为，方程的通解为，方程的特解可设为代人方程解得，所以

5、，方程的特解可设为代人方程解得，由此可得原方程通解为.二、设函数在上可微，且对满足证明：分析：令当时，单增，存在或为，设，则对在上利用公式得存在，使得令，对上式两边取极限得即，而31矛盾,.三、是否存在上的连续函数，使得：与成立解：不存在。事实上，=如果两不等式同时成立，则有，，矛盾！四、设二元函数，其定义域为（1）设点求过点的方向向量，使为最大，并记此最大值为.(2)设在D的边界上变动，求的最大值.解：（1）使最大的方向为.（2）设，下面求在条件下的最大值.令，由31（1）+（2）得，若再由（3）式得，若，由式（3）得.于是得4个可能极值点：，而，故最大值.五、设在上半平面内，函数

6、具有连续偏导数，且对任意的都有.证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有.证明：由格林公式知，对D内的任意有向简单闭曲线L,的充分必要条件是：对任意，有由于对任意的及都有，两边对t求导，得.令，得.所以.六、设在区间上有连续的导数，且，证明级数条件收敛.证明：由可得，又连续，故，当时恒有，因而在上单增，由此可得当时31单减，且，由莱布尼茨判别法知级数收敛.又当时由Lagrange中值定理可知使得，而级数是发散的，从而级数也是发散的，因此级数条件收敛.七、设函数在区间[0,1]上具有连续导数，，且满足，其中.求的表达式.解：又，由题设有两边求导整理得，解得将代入得故合肥工业大

7、学2011年大学生（非数学）高数竞赛模拟题答案（三）一、简答题1．求极限，其中二元函数具有连续偏导数，且对均有。解：，31因为时，对等式两边关于同时求导可得，令，可得，因而有，故原式。2．求的整数部分。解：由于时有，因而有，又时有，所以，所以的整数部分是。3．求经过直线且与椭球面相切的平面方程。解：设切点为，则椭球面在该点处的切平面方程为，由题设有解得或者因而所求的平面方程为或。4．设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，计算。解：由高斯公式