（非数学专业）高等数学模拟（二）答案

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1、合肥工业大学2014年大学生(非数学》高数竞赛模拟题答案(-)一、简答题i•设色二!連(&(X+Q])(兀+。2)•••(%+《,)_兀)，其中匕=In—=1,2,…仏求limunon解：令x=-,un=limt—0+lim冷XT8limnnr?T8n匸1n-1丄工卯+0(/)工—...=hm-^-r->0”iZln-=lim―-〃T871xdx=xx[-1*x-—dx=-loJoJox2.设函数/(x)在区间［讪上连续,由积分中值公式有「f(t)dt=(x-a)f^)9其中J"(a<^

2、，试求lim^H的值。xt/x-a解：lim口=lim£_a/©-/(a)=亠恤f©-/⑺)xt卡兀一af©_f(a)x-af+(^)兀一°亠limSlI(x-a)223.设f(x,y)在R?中连续，且存在偏导数，又/(0,0)=0,且当x2+j2<5吋,gradf<1,请给出/(1,2)值的范围。证明：由二元函数的中值定理得/(M)=/(1,2)-/(0,0)=•1+口§刀)・2={/；(："),/；忆,训{1,2}=g“0@,〃)・{l,2},所以

3、/(1,2)

4、=

5、gra#(^77).{l,2}

6、

7、a/5.(其中§介于0和1之间，〃介于0和2之间，孑+叶2§5)。4•计算£dxj%max{Z,V^2y2>dy,其屮。>0,方>0。,b.解：［时。严心.占匕),=［血F严dy+JO一1)。5.设级数5>[(Wz+1)“S+2)〃]是收敛的，试求常数a,b的值。/:=2解：因为ln(l+x)=x——x2+o(x2),因而2ln[(n(n+1)"(m+2)"]=(1+a+b)In〃+(a+2b)—+2b)丄+o(—)n2rrnr由题设有1+g+/?=0,g+2方=0,解得。=一2,方=1。2x+l,二、设函数/(x)=*x3,兀2+

8、4,X<—1,-1SV2,又设％0分别是y=f(x)的反函数y=g⑴的最小x>2,不可导点与最大不可导点,兀=0丄2,…,求lim%o解：法一由y=/(X)的表达式得其反函数扣j).y=gM=?+i>0,杠严皿亠丄2+暫2+£/.n>1,兀岸(0,2)・・・｛兀｝有界。2+£一

9、(2+£)(2+3二2〃3-观)二2”(2-殊)口(2+兀)口(2+兀)/=!/=0,_2(1+耳)2(1+汕)「(1+£)(2+汕)-(1+不)(2+

10、暫)2+£(2+£)(2+g)2(£-汕)所以当xog(-1,8)且兀oH血时，｛%｝单调。当x0g(-1,V2)时，｛百｝单增;当xog(-V2,8)时，｛兀”｝单减。由数列极限存在准则知，xog(-1,8)时，limx”存在记其"T8极限值必对"守，心8得心罟得(舍去)。当xQ=y/2时，x/j+l=>/2,(n=1,2,••-),此时limxn=41.综上所得，lim=V2o〃一>8〃T8法二：由于2(1+£)J_」2(1+捡)-血(2+暫)2-2-/2+(2—p2}xn2+耳

11、「2+兀2+心=四

12、Xi_7^p0(n^oo

13、),n:.limxn=V2.刃T8三、当兀>一1时，可微函数f(x)满足厂(兀)+/(兀)一一fv=0,且f(0)=l,^x+lJo^证明：当兀no时，有e-r

14、dd1—[e~ldt=e~l。于是，结论成立。四、设几兀)在(a,b)上2p+l阶可导,在[%]上2p阶连续可导,在此区间的两个端点x=a与x=b处,/(兀),广(兀)，/"(兀)，…J®(兀)皆取零值,试证：存在(a,b),使得(^)=0o证明：对函数/(x)在[a.b]±应用罗尔定理，存在仏b)，使得/'($)=0且fa)=fb)=O；对函数.厂(X)分别在S，§],[§#]上应用罗尔定理，存在冬丘(a，b),躲(a，b)，使得厂(刍)=厂(乙)=0且厂(a)=/"(b)=0,因此；厂(x)在仏b)内至少有两个不同的零点,且

15、f"(a)=厂3)=0。对函数r(x)在此每两相邻零点上应用罗尔定理，可得r(x)在(a,b)内至少有3个不同的零点，且厂(。)=厂3)=0。依次类推，可得/("⑷(x)在@力)内至少有”+1个不同的零点。对函数/(,,+1)(x)在