数列知识点总结学生

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1、五、数列一、数列定义：数列是按照一定次序排列的一列数，那么它就必定有开头的数，有相继的第二个数，有第三个数，……，于是数列中的每一个数都对应一个序号；反过来，每一个序号也都对应于数列中的一个数。因此，数列就是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，当自变量从1开始由小到大依次取正整数时，相对应的一列函数值为；通常用代替，于是数列的一般形式常记为或简记为，其中表示数列的通项。注意：（1）与是不同的概念，表示数列，而表示的是数列的第项；（2）数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，

2、它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值。（3）和之间的关系：如：已知的满足，求。二、等差数列、等比数列的性质：等差数列等比数列定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫等差数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列公差（比），或；，或（）；通项公式=求和公式由倒序相加法推得=由错项相减法推得①，=②，若为等差数列，则，；若为等比数列，则，；-6-用函数的思想理解通项公式等差数列的图象是直线上的均匀排开的

3、一群孤立的点用函数的思想理解求和公式等差数列，，则；；；若，说明：；在二次函数的图象上，是一群孤立的点。若为等比数列，，则；；；（其中的系数与为互为相反数，这是公式一很重要特点，注意前提条件。）若，说明：；等比数列，，则；增减性为递增数列；为递减数列；为常数列。为递增数列；为递减数列；为常数列；为摆动数列；等差（比）中项任意两个数有且只有一个等差中项，即为；两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数。两个数的等比中项为；（）等差（比）数列的性质若，则____________；特别当，则；若，则__________

4、__；特别当，则；在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原顺序构成的数列不一定是等差数列。如：；问公差为在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列，剩下的项按原顺序构成的数列也不一定是等比数列。如：；问公比为是数列；公差为；成等差数列。是数列；公比为；是数列；公比为；-6-是数列；公差为；是数列；公比为；若数列与均为等差数列，则仍为等差数列，公差为；若数列与均为等差数列，则仍为等比数列，公比为；仍为等比数列，公比为；

5、如：（1）在等差数列中，，则；（2）在等比数列中，，则；另外，等差数列中还有以下性质须注意：（1）等差数列中，若，则；（2）等差数列中，若，则；（3）等差数列中，若，则；；（4）若，则时，最大。（5）若与均为等差数列，且前n项和分别为与，则；（6）项数为偶数的等差数列，有（与为中间的两项）；；项数为奇数的等差数列，有（为中间项）；；；等比数列中还有以下性质须注意：（1）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；-6-（2）若是等比数列，则，也是等比数列，公比分别；；三、判定方法：（1）等差数列的判定方法：①定

6、义法：或（为常数）是等差数列②中项公式法：是等差数列③通项公式法：（为常数）是等差数列④前项和公式法：（为常数）是等差数列注意：①②是用来证明是等差数列的理论依据。（2）等比数列的判定方法：①定义法：或（是不为零的常数）是等比数列②中项公式法：是等差数列③通项公式法：（是不为零常数）是等差数列④前项和公式法：（是常数）是等差数列注意：①②是用来证明是等比数列的理论依据。四、数列的通项求法：（1）观察法：如：（1）0.2，0.22，0.222，……（2）21，203，2005，20007，……（2）化归法：通过对

7、递推公式的变换转化成等差数列或等比数列。①递推式为及（为常数）：直接运用等差（比）数列。②递推式为：迭加法如：已知中，，求③递推式为：迭乘法如：已知中，，求④递推式为（为常数）：-6-构造法：Ⅰ、由相减得，则为等比数列。Ⅱ、设，得到，，则为等比数列。如：已知，求⑤递推式为（为常数）：两边同时除去得，令，转化为，再用④法解决。如：已知中，，，求⑥递推式为（为常数）：将变形为，可得出解出，于是是公比为的等比数列。如：已知中，，，求（3）公式法：运用①已知，求；②已知中，，求；③已知中，，求五、数列的求和法：（1）公

8、式法：①等差（比）数列前项和公式：②；③；④（2）倒序相加（乘）法：如：①求和：；-6-②已知为不相等的两个正数，若在之间插入个正数，使它们构成以为首项，为末项的等比数列，求插入的这个正数的积；（3）错位相减法：如：求和：（4）裂项相消法：；；如：①；②；③若，则；（5）并项法：如：求（6）拆项组合法：如：在数列中，，求，六、数列问题的解题的策略：（1）分类讨论问题：①在等比数列中，用