数列知识点及题型大总结学生版

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1、数列知识点及题型总结1等差数列3知识要点1．递推关系与通项公式是数列成等差数列的充要条件。2．等差中项：若成等差数列，则称的等差中项，且；成等差数列是的充要条件。3．前项和公式；是数列成等差数列的充要条件。4．等差数列的基本性质⑴反之，不成立。⑵⑶3⑷仍成等差数列。5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：是等差数列②中项法：是等差数列③通项公式法：是等差数列④前项和公式法：是等差数列练习：1．等差数列中，A．14　　B．15　　C．16　　D．172．等差数列中，，则前项的和最大解：3．已知等差数列的

2、前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为4．设等差数列的前项和为，已知①求出公差的范围，②指出中哪一个值最大，并说明理由。一、选择题1．已知等差数列中，等于（）A．15B．30C．31D．643二、解答题1．等差数列的前项和记为，已知①求通项；②若=242，求3．已知数列中，前和①求证：数列是等差数列②求数列的通项公式③设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，的最小值，若不存在，试说明理由。3知识要点1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，

3、那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为。2．递推关系与通项公式3．等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。4．前项和公式5．等比数列的基本性质，①反之不真！②③为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。④仍成等比数列。6．等比数列与等比数列的转化①是等差数列是等比数列；②是正项等比数列是等差数列；③既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。7．等比数列的判定法①定义法：为等比数列；②中项法：为等比数列；③通项公式法：为等比数列；④前项和法

4、：为等比数列。8练习：1．2．已知数列是等比数列，且二、性质运用例1：在等比数列中，①求，②若典例精析一、错位相减法求和例1：求和：二、裂项相消法求和例2：数列满足=8，（）①求数列的通项公式；一．求数列的最大、最小项的方法：1、比差法：例：已知数列的通项公式为：，求数列的最大项。2、比商法：()例：已知数列的通项公式为：，求数列的最大项。3、利用函数的单调性：研究函数的增减性例：已知数列的通项公式为：，求数列的最大项。二．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构

5、。1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。8例：已知数列的通项为：，求2、错位相减法：利用等比数列前项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。说明：（1）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列且公比为，求数列的前项和时，可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。（2）在写出“”与“”的表达式

6、时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“”的表达式；3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。常见裂项有：、例：已知数列的通项为：，求前和4、倒序相加法：利用等差数列前项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。典例精析例一：已知正项数列的前项和为，的等比中项，①求证：数列是等差数列；②若，数列的前项和为，求③在②的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。通项与前n项和的关系　　任意数列的前n项和；　　　　注意：由前n

7、项和求数列通项时，要分三步进行：　　（1）求，　　（2）求出当n≥2时的，　　（3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.题型一归纳、猜想法求数列通项8题型二应用求数列通项例2．已知数列的前项和，有，求其通项公式.经典例题精析类型一：迭加法求数列通项公式1．在数列中，，，求.例：已知数列，，，求.类型二：迭乘法求数列通项公式　2．设是首项为1的正项数列，且，求它的通项公式.类型三：倒数法求通项公式3．数列中，,，求.8类型四：待定系数法求通项公式

8、4．已知数列中，，，求.　例：已知数列满足,而且，求这个数列的通项公式.　　类型五：和的递推关系的应用5．已知数列中，是它的前n项和，并且, .　　(1)设,求证：数列是等比数列；　　(2)设，求证：数列是等差数列；　　(3)求数列的通项公式及前n项和.　　　8