数学悖论对数学发展的影-结课论

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1、2014~2015学年秋季学期“温故而知‘芯’——初等数学再回首”课程论文题目：数学悖论对数学发展的影响学号：13123131姓名：武泽奎评分：完成日期：2015年01月15日数学悖论对数学发展的影响姓名：武泽奎学号：13123131学院：材料学院摘要：从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的。数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的。分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推

2、动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展。可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望。从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。关键词：悖论；三次数学危机；矛盾；创造；数学发展一．悖论的产生背景及定义早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命题成立，就会发现它的

3、否定命题也成立。相反的，如果认为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立。这便使人们产生里难以解释的困惑。随着时光的流逝，越来越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了。但严格意义下的悖论是在19世纪末、20纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的。当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论。1897年意大利数学家布拉里—弗蒂(Buraliforti，1861-1931)在超穷序数理论中发现了第一个悖论，接着，集合论的创始人康托尔(cantor，1845-191

4、8)于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素(Russell，1872-1970)在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”。1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”。由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡。那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的。”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以

5、推出它的真。”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面。本文认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：1．任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的。例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对于朴素集合论和真理性理论而言的。2．悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示。这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念(真、假)而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”。例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德(J.Ri

6、chard,1862-1956)悖论、格里林(kartCirelling,1886-1941)悖论等就属于第一类型的悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类型的悖论。3．对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”。因为悖论与诡辩有含义上的不同。后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因。我们认为，布拉里—弗蒂与希尔伯特(Hibert,1862-1943)关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看

7、上去是合理的，但在这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论。数学悖论也叫逆论或反论，他包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论。这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定错了，但实际上却是对的；有的看起来是对的，但实际却是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境。数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展为对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩。历史上人们对于数

8、学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革。二．数学史上三次重要悖论1.毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机在公元前6世纪，古希腊有一个著名学派叫毕达哥拉斯学派，他们认为“万物皆数”，所谓数就是指整数，他们确定数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在着整数与分数，除此之外，他们不认识也不承认有别的数。在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”，后来这