数学悖论概率论悖论

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1、第三章概率论悖论本章教学目的：（1）了解概率在实际生活的重要性；（2）说明直觉会得出错误的结论，而正确的解答往往与常识矛盾；（3）用较为直观的方法深入体察问题的结构；（4）引导学生深入到概率论较深奥的内容中去。在社会实践和科学实验中，人类观察到的现象大体上可以分为两种类型。一类是事前可以预知结果的，就是某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生（出现），或者根据它过去的状态，完全可以预知它将来的发展状态，我们称这一类现象为确定性现象或必然现象。例如在标准大气压下，水在100℃时肯定会沸腾；两个异性的电荷一定相互吸引；冬天过去春天肯定会到来，等等。另一类现象是在一定条件下，并不总是出现相

2、同结果的现象，我们称为随机现象。对于随机现象，事前不能预知结果，就是某些确定的条件满足时，究竟会发生（出现）什么结果也是不能确定的。或者根据它过去的状态，不能肯定它将来的发展状态。换句话说，即使在相同的条件下重复进行试验，每次所得到的结果未必相同。例如抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）向上，也可能是反面向上，在硬币落地之前我们不能预知哪个结果会出现。在我们买彩票时，我们不知道哪一些号码组合会出现，只有在摇号机摇出结果以后才知道。由于在一次试验中随机现象的规律性不容易确定，因此我们通过重复试验来探求。若在次试验中，事件发生了次，则称为事件在次试验中出现的频率。

3、由于频率的大小表示事件发生的频繁程度，频率越大，事件发生的越频繁，就意味着事件在一次试验中发生的可能性越大。因此频率在一定程度上表示了事件在一次试验中发生的可能性大小。设在次试验中，事件发生次，当很大时，如果其频率稳定的在某一数值附近摆动，且随的增加，摆动幅度越来越小，则称为事件的概率，记为。在1487年，帕西欧里（Paccioli）曾经考虑过下面的分配奖金问题：甲乙两人比赛，奖金64元，先赢60次的人获得全部奖金。当甲赢50次、乙赢30次时，由于某种原因，比赛不得不终止，问甲乙如何分此64元才公平。帕西欧里的答案是甲得元，乙得元，公平吗？帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配赌注问

4、题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来。该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先赢三场赢取全部赌注。假定在甲赢两场、乙赢一场时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。他们两人用不同的方法得到相同的结果。经过他们共同研究，这个问题的通解是：如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才能获胜，则甲乙分钱之比为从这个结果可以看到前面帕西欧里曾经给出的分配奖金问题的答案是错误的。如果一个事件的发生不影响另外一个事件发生的概率，则认为这两个事件是独立的。如果抛掷一枚硬币两次，第一次出现的结果不会影响第二次的结果。如果你认为不是这样，可以这样来考虑：硬币是没有记忆的，它不会记

5、下第一次的结果而影响第二次的结果，反过来也是。正是独立性使人们产生很多困惑。如果一个人抛掷硬币连续出现5次正面，他可能会认为下一次十有八九会出现反面，而实际上下一次出现反面的概率仍是二分之一，和出现正面的概率一样，只要硬币是对称的。更进一步，如果抛掷一枚硬币十次，全是正面的概率和你事先将每一次的结果任意确定以后的概率是一样的。1．独立性的误区在网上有一种赌博游戏，人们用虚拟货币作为赌资。游戏规则是：参与赌博的人将自己的赌资选择押在单数或者双数上，而由计算机随机产生一个数字，押对者获胜。参与者甲：“我选择的一直是单数，结果连续10次都是双数，输惨了，下一次押什么数呢？”参与者乙：“连续10

6、次都是双数，下一次肯定是单数，你多押点，不管怎么说，下一次是单数的机会要大得多！”为了说明问题，我们可以假定一个人抛掷硬币，前面三次都是国徽向上。这时再扔第四次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，硬币对于它过去的结果是不会有记忆的，因此也不会为出现哪一面提供帮助。很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了。事情将是这样进行的吗？   埃德加·阿兰·坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了。他说得对不对呢？如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中。在掷骰子时，每掷一次

7、都与以前掷出的点数完全无关。如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的。例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率。在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件。例如，你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的。（1）第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身。他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大。因为，看起来不可能两个炮