数学悖论与数学发展

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1、数学悖论与数学发展何贵辉福建省惠安高级中学王翠娥厦门大学教育研究院悖论是强烈违反我们直觉的问题。尽管从古希腊起至今，悖论一直给人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论等数学史上一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直接结果。一、毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机1.第一次数学危机的内容公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学牛希伯斯学习勾股定理时，提出了一个问题：假设正方形边长为1,并设其对角线长为d,依勾股定理应有d2=12+12=2,即62

2、=12+12=2,那么d是多少呢？希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找到，反而找到了两数不可通约性的证明。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。2.第一次数学危机的影响第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞牛了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个新的数类一一实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。其次，第一次数学危机表明，肓觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理休系。欧氏几

3、何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在此时应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展，使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础,这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。二、贝克莱悖论与第二次数学危机1.第二次数学危机的内容公元17世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分，微积分能提示和解释许多自然现象，它在自然科学的理论研究和实际应用中的重要作用引起人们高度的重视。然而，因为微积分才刚刚建立，这吋的微积分只有方法，没有严密的理论作为基础，许多地方存在漏洞，还不能自圆其说。对于牛顿对求导过程的论述，哲学家贝克莱发现了其中的问题，他一针见血的指岀，在同一问题的讨论中，将所谓

4、的无穷小量有吋作为0,有吋又异于0的做法，不得不让人怀疑。无穷小量究竟是不是0?无穷小及其分析是否合理?贝克莱悖论的出现危及到了微积分的基础，引起了数学界长达两个多世纪的论战,从而形成了数学发展史中的第二次危机。1.第二次数学危机的影响第二次数学危机出现后，经过欧拉、拉格朗日等人的努力，微积分取得了一些进展；从19世纪开始为彻底解决微积分的基础问题，柯西、外尔斯特拉斯等人进行了微积分理论的严格化工作。在解决使无穷小数学化的问题上，出现了罗比达公理，而柯西又采用的ε,δ方法刻画无穷小，无穷小被极限代替了。后来外尔斯特拉斯又给出了极限的严格定义，建立了极

5、限理论，使微积分建立在极限基础之上。极限的ε.δ定义就是用静态的ε.δ刻画动态极限，用有限量来描述无限性过程，它是从有限到无限的桥梁和路标，它表现了有限与无限的关系，使微积分朝科学化、数学化前进了一大步。极限理论的建立加速了微积分的发展，它不仅在数学上，而且在认识论上也有重大的意义。后来在考查极限理论的基础中，经过代德金、康托尔、海涅、外尔斯特拉斯和巴门赫等人的努力，产生了实数理论；在考查实数理论的基础时，康托尔又创立了集合论。这样有了极限理论、实数理论和集合论三大理论后，微积分才算建立在比较稳固和完美的基础之上了，进而开

6、辟了下一个世纪的函数论的发展道路。三、罗素悖论与第三次数学危机1.第三次数学危机的内容19世纪70年代，德国数学家康托尔创立了集合论，为整个数学大厦奠定坚实的基础。1900年，在巴黎召开的国际数学家会议上，法国数学家庞加莱宣布「'我们可以说，现在数学已经达到了绝对的严格。”然而，英国数学家罗素1902年提出了著名的“罗素悖论S设集合B是一切不以自身为元素的集合所组成的集合，问：B是否属于B?若B属于B,则B是B的元素，于是B不属于自身，即B不属于B；反之，若B不属于B,则B不是B的元素，于是B属于自己，即B属于Bo这样，利用集合的概念，罗素导出了一一集合B不属于B当且仅当集合B

7、属于B时成立的悖论。之后，罗素本人还提出了罗素悖论的通俗版本，即“理发师悖论”。罗素悖论的出现，动摇了数学的基础，震撼了整个数学界，导致了第三次数学危机。2.第三次数学危机的影响罗素悖论导致的第三次数学危机，使数学家们面临着极大的困难。值得庆幸的是，产生罗素悖论的根源很快被找到了，原来康托尔提出集合论吋对“集合”的概念没有做必要的限制，以至于可以构造“一切集合的集体”这种过大的集合而产生了悖论。为了从根本上消除集合论中岀现的各种悖论，特别是罗素悖论，许多数学家进行了不懈的努力。如以罗素为主要