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1、附录1芝诺悖论与连续性数学的基础摘要线段、时段长度的绝对准确的测量方法是不存在的，时空的无限可分性只能是误差界趋向于0时的一种极限，而且这种极限具有不可达到的性质。在测不准和时空不能无限可分的事实下，不论用代数方法或极限方法计算出的勇士阿基里斯追上乌龟的时间都只能是一种理想性质的计算结果，在付诸生产实践时，应当用把这两个结果看作是近似意义的。满足误差界的足够准近似方法是解决连续性现实数量问题及其数学理论根本方法。关键词时段、线段长度的测不准性时空的连续性（即无限可分性）潜无穷实无穷点实数中图分类号：NOB001文献标示码：A1问题的提出自然数不是上帝造的，它是人造的。根据十进位计数
2、法，人们得到的自然数列是：0,1,2,3,・・・9,1（）,11,12,-20,21,-100,101,102,关于自然数，人们还提出了自然数集合的术语。人们认为：自然数集是包含所有自然数（或称全体自然数）的集合，它的表达式是{1,2,3,-10,11,-100,101,……}关于这个集合中元素有多少的问题，人们说它是“无穷多”；因此就称这个集合为无穷集合。那么,无穷集合是什么意思呢？对于这个问题，从希腊时代到现在是中存在看“实无穷与潜无穷”两种不同观点的争论。从王宪钧先生的著作《数理逻辑引论》（1998年版3（）1页）可以看到：“实无穷论者认为，无穷（在数学中表现为无穷集）是一个
3、现实的、完成的、存在着的整体”，“潜无穷论者否认实无穷，认为无穷并不是已完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”。康托尔（Cantor,G）认为:数学理论必须肯定“实无穷”。但是，这样建立起来的实数理论，存在着0.3=}/的等式，这个等式与1一3时“除不尽”的事实相矛盾；这样建立起來的集合论存在着“分球奇论”与“实数集的基数到底是什么呢？”的难题。为此，笔者改写了实数理论与集合论,在这个理论中笔者没有使用实无穷的概念；笔者是使用了“含有极限思想的实质性公理方法”去建立实数理论与集合理论。在这个实数理论屮0.3与%之间的关系是“全能近似相等”U],即成立的关系是：0.3~%。
4、笔者的改节不仅消除了许多矛厉，而且冇很人好处。但是对于极限，吴咸在《怎样认识极限》—戈中批判了“极限只是同潜无限（即潜无穷）打交道”的见解叫対吴咸的这和观点，本文将予以讨论（也可以叫做一种驳斥）。这个讨论涉及到争论了两千多年的“时空无限对分性”问题与连续性数学基础问题，木文将给出这两个问题的解决方案。2芝诺悖论的初步讨论吴咸在论述上述观点时，是以芝诺悖论为例进行的，我们也从这个问题开始。2.1芝诺悖论的叙述古希腊哲学家芝诺（Zeno）提出了四个值得深入研究的悖论（或称论辩）,其屮的一个是“勇士阿基里斯追不上乌龟”的悖论。这个悖论可以叙述为：阿基里斯（神话屮的一名勇士）与乌龟赛跑：乌
5、龟在前面，因此阿基里斯必须首先跑到乌龟最初的位置；但在这段时间里，乌龟已前进了一段距离；于是阿基里斯又必须再跑完这段距离。照此推论下去，阿棊里斯只能接近乌龟，但永远追不上乌龟。具体的讲：譬如，假设阿基里斯的速度为10（米/秒），乌龟的速度为0.5（米/秒）；乌龟最初在阿基里斯前面50（米）处。那么阿基里斯百先需要化5秒时间跑完50（米）到乌龟最初的位置，但此时乌龟前进了2.5（米），阿慕里斯再化0.25秒的时间跑完2.5（米）时,乌龟又朝前走T0.125（米）。以此类推,阿基里斯逐段地化5秒、0.25秒、0.0125秒、……的时间，相继地跑完是50（米）、2.5（米）、0.125（
6、米）、……的距离。由于这是一个无穷序列，这里有无穷多个阿基里斯需耍走的路程和无穷多个路程的出发点，所以阿基里斯永远追不上乌龟。2.2芝诺问题的代数解法撇开芝诺的结论不讲，可以说：芝诺在这里提出了一个数学问题。这个问题是：如何求出阿基里斯追上乌龟的吋间。这个问题可以用代数方程的办法去解决。设阿基里斯追上乌龟的时间为x秒，可以得到：10x=50+0.5x;x=—（秒）。95这吋阿基里斯走过的路程为㈣（米）。952,3芝诺悖论的实践说明在5.25秒时，阿基里斯跑了52.5（米），乌龟这时仅走了2.625（米）,这时乌龟在阿基里斯之前只有0.125（米）。显然，阿基里斯只要再跑一步就超过乌
7、龟；在这一步之屮，阿基里斯就追上乌龟了。“实践是检验真理的唯一标准”，阿基里斯“永远追不上乌龟”的说法，是违反实践的悖论。2.4芝诺问题的极限解法在有限时间（5。%5秒）可以无限细分的假设条件卜：我们可以用极限方法求解芝诺问题。这时得到的，追上时间的算式是:这个结果与代数方程方法的结果一致。这个计算的结果也说明：阿基里斯是能追上乌龟的。在芝诺所处时代还没有极限理论。对于我们的极限解法，芝诺会反驳说：极限是不能达到的理想;如果承认极限方法的结果，就等于承认无穷是“有终了
