浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

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1、浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但他决不可能追上它。此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A点，乌龟处在B点，A，B点相距X，阿基里斯以速度V前进，则乌龟以速度1∕10V前进，若阿基里斯前进了X，则乌龟前进了1/10X，若阿基

2、里斯前进了1/10X，则乌龟前进了1/10ˆ2X，就这样无限的进行下去，AXB乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆnX，而阿基里斯前进的路程为S’=X+1/10X+1/10ˆ2X+1/10ˆ3X+1/10ˆ4X+…1/10ˆ(n-1)X,所以二者之差S’—S=X—1/10ˆnX，乌龟与阿基里斯相距1/10ˆnX，当n为无穷大时，S’—S≈X，1/10ˆnX≈0，但是1/10ˆnX总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的.然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n为无穷大时，1/10ˆnX会越来越小，通过这段路

3、程的时间会趋于0.对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10ˆnX≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10ˆnX大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A，B，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。若A,B是质点，我们显然可以得到A是永远追不上B的。但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A比B的速度快，经过有限时间后，A是一定会追上B的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设：其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相

4、互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的，因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这个问题。若时空不是连续的，即量子性的，则时间和空间必存在一个最小量，设其分别为T0，P0，当A，B相距距离为P0时，而空间不可比P0小，因此B点不可能再前进比P0更小的路程，设A的速度是B的m倍，B前进P0所需时间为T0，当B每前进一个T0的时间，A，B间的距离将缩小（mv-v）T0=(m-1)vT0,又因为总存在一个N（N为正整数），使得N(m-1)vT0＞＝P0，即经过NT0的时间后A，B间距为N(m-1)v

5、T0—P0＜＝0，此时A就追上了B，这与现实是相符的。