数学悖论与数学的发展

《数学悖论与数学的发展》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数学悖论与数学的发展什么是数学悖论？“悖论(Paradox)”也可叫“逆论”，或“反论”，这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。“悖论是无意义的！”“悖论没有任何作用！”这也许是某些人的看法。但请不要小看悖论，它直接导致了三次数学危机的产生。毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为

2、1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。可是为人们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，

3、多么荒谬的事！它把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。后来，实数理论建立起来后，无理数本质被彻底搞清，人们接受了无理数，风波才渐渐平息。微积分这一分析利器，却有着艰难的发展史。第二次数学危机源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还

4、是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中最猛烈的是英国大主教贝克莱。贝克莱指责牛顿，为计算比如说x2的导数，先将x取一个不为0的增量Δx，由(x+Δx)2-x2，得到2xΔx+(Δx2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最后突然令Δx=0，求得导数为2x。而无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是0，一会儿又说不是0。就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时

5、的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。后来几代数学家不顾基础的不严格，论证的不严密，更多地依赖于直观去开创新的数学领地。然而粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面。　无穷级数S＝1－1＋1－1＋1……到底等于什么？当时人们认为一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋……＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋……＝1，那么岂非0＝1？这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解，甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到1+x+x2+x3+.....=1/(1-x)后，令x=－1，得出S＝1－1＋1－1＋1

6、……＝1/2不难看出当时数学中出现的混乱局面了。在这之后，柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，重建了微积分学基础。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论。在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为了现代数学的基石。1903年，英国数学家罗素提出：集合论是有漏洞的！罗素构造了一个集合S：S由一切

7、不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。而后，公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。而这或许就是

8、数学悖论重要意义之所在。不断地使数学完整化，完美化，正是人们在解决