高三数学第一轮复习 61 等差数列与等比数列（3）教学案（教师版）

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1、教案61等差数列与等比数列（3）一、课前检测1.x=是a、x、b成等比数列的(D)条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要2．等比数列中，，若，则等于（C）（A）4（B）5（C）6（D）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。略解：注：等比数列得到的方程，常常用除法消元。二、知识梳理1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。解读：“知三求二”。2.等差数列与等比数列的联系1）若数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的

2、公差。（a>0且a≠1）；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且，是的公比。3）若既是等差数列又是等比数列,则是非零常数数列。解读：1）2）3）非零常数数列。3.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等差数列等比数列定义{an}为等差数列an+1-an=d（常数），n∈N+2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N+）通项公式=+（n-1）d=+（n-k）d．（）求和公式中项公式等差中项：若a、b、c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b=；a、b、c成等差数列是2b=a+c的充要条件.{an}为等比数列

3、是an+12=an·an+2的充分但不必要条件.重要性质1(反之不一定成立)；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…。若m、n、l、k∈N*，且m+n=k+l，则am·an=ak·al，反之不成立.特别地，。另：即：首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为qm.3成等差数列。成等比数列。三、典型例题分析题型1等差数列与等比数列的联系例1（2010陕西

4、文16）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得＝，解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2.变式训练1（2010北京文16）已知{an}为等差数列，且，。（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列满足，，求的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列的公差。

5、因为所以解得所以（Ⅱ）设等比数列的公比为。因为所以即=3。所以的前项和公式为小结与拓展：数列是等差数列，则数列是等比数列，公比为，其中是常数，是的公差。（a>0且a≠1）.题型2与“前n项和Sn与通项an”、常用求通项公式的结合例2（2009广东三校一模）数列{an}是公差大于零的等差数列，,是方程的两根。数列的前项和为,且，求数列,的通项公式。解：由.且得,在中,令得当时,T=,两式相减得,变式训练2已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{bn＋1－b

6、n}是等差数列．求数列{an}与{bn}的通项公式。解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n(n∈N*)①当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)(n∈N*)②①－②得2n－1an＝8，求得an＝24－n，在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1，∴an＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2，∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6，法一（迭代法）bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋

7、…＋(bn－bn－1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝n2－7n＋14(n∈N*)．法二（累加法）即bn－bn－1＝2n－8，bn－1－bn－2＝2n－10，…b3－b2＝－2，b2－b1＝－4，b1＝8，相加得bn＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)＝8＋＝n2－7n＋14(n∈N*)．小结与拓展：1）在数列{an}中，前n项和Sn与通项an的关系为：.是重要考点；2）韦达定理应引起重视；3）迭代法、累加法及累乘法是求数列通项公式的常用方法。题型3中项公式与最值（数列具有函数的性质）例3（2009汕头一模）在等比数列｛an｝中

8、，an＞0(nN＊），公比q(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，a3与as的等比中项为2。（1）求数列｛an｝的通项公式