高三数学函数的奇偶性第一轮复习学案 人教版

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1、东北育才学校高三数学函数的奇偶性第一轮复习学案高考要求：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题．考点回顾：1．函数的奇偶性的定义；2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；3．为偶函数．4．若奇函数的定义域包含，则．考点例析EG1．判断下列各函数的奇偶性：（1）；（2）；（3）．解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数．（2）由得定义域为，∴，∵∴为偶函数（3）当时，，则

2、，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数．B1-1．已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示．解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称．在中，令，得，令，得，∴，∴，即，∴是奇函数．（2）由，及是奇函数，得．B1-2．已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为．B1-3.已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则（）....考点2。函数奇偶性应用EG2．定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0①求证

3、：f(0)=1　　　　　　　②求证：y=f(x)是偶函数证：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0)∵f(0)≠0∴f(0)=1②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)　　　　∴f(-y)=f(y)∴y=f(x)是偶函数B2-1变式：定义在R上的函数y=f(x)，对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，判断函数y=f(x)的奇偶性并证明。解：令x1=x2=0则f(0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0令x1=xx2=-x则f(0)=f(x)+f(-x

4、)∴f(-x)=-f(x)∴y=f(x)是奇函数B2-2．已知函数f(x)，当x<0时，f(x)=x2+2x-1①若f(x)为R上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。②若f(x)为R上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。答案：①可确定，②不可确定，∵x>0时，虽可确定f(x)=x2-2x-1，但x=0时，f(0)取任意实数都可以。B2-3变式：已知函数是定义在实数集上的奇函数，求函数的解析式。分析：用f(-x)=-f(x)(x∈R)较繁，用f(0)=0可较方便地求得a=1，B2-4．已知g

5、(x)是奇函数，，求f(3)简解：相加得：B2-5．已知f(x)是定义在Ｒ上的偶函数，且在上为减函数，若，求实数a的取值范围。简解：f(x)是Ｒ上的偶函数且在上为减函数，∴由有：　　　解得a≤-1或a≥2.方法归纳：1．判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；2．牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性；3．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，．4．设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶偶+偶=偶，偶

6、偶=偶，奇偶=奇．5．注意数形结合思想的应用．实战训练1．若,定义:,如:,则函数奇偶性是（）AA.是偶函数不是奇函数B.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数2．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．3．若是偶函数,且当时,,则的解集是（C）A.B.C.D.4．已知是定义在R上的奇函数,当时,,则当时,的解析式是（）BA.B.C.D.5．函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如下图所示，则y=f(x)·g(x)的图象可能

7、是(A)6．设偶函数的大小关系是（C）A．B．C．D．不能确定7．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x－2)，若f(x)在[﹣2，0]上递增，则AA．f(1)>f(5.5);B．f(1)

8、此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，C中，，即函数为奇函数，D中，，即函数为偶函数，故选择答案D10．（2006年广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.B.C.D.解析：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.11.（2006年上海春卷）已知函数是定义在上的偶函数.当时，，则当时，.（2006年江苏卷）已知，函数为奇函数，则a＝（A）0　　　　（B）1　　　　（C）－1