高三数学第一轮复习《第6课时 函数的奇偶性》学案

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1、第6课时函数的奇偶性【考点概述】①结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；；②会运用函数图像理解和研究函数的性质．【重点难点】：函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性的理解和应用．【知识扫描】1.奇函数、偶函数的概念如果对于函数的定义域内任意一个，都有______，则函数叫做偶函数.如果对于函数的定义域内任意一个，都有______，则函数叫做奇函数.2.判断函数的奇偶性一般步骤是：（1）考查定义域是否关于___________.（2）根据定义域考查表达式是否等于或—若=______，

2、则为奇函数；若=______，则为偶函数.若=______且=_______，则既是奇函数又是偶函数；若≠—且≠，则是非奇非偶函数.3.函数的图象与性质奇函数的图象关于对称，偶函数的图象关于对称.4.函数奇偶性和单调性的相关关系（1）奇函数在和上有________的单调性.（2）偶函数在和上有________的单调性.（3）在公共定义域内：两个奇函数的和是，两个奇函数的积是；两个偶函数的和、积都是；一个奇函数，一个偶函数的积是。5.函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何一个

3、值时，都有，则称是周期函数，称T为这个函数的周期。（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中，的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。【热身练习】1．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则．2．已知函数是奇函数，则实数。3.已知函数，为奇函数，则函数的奇偶性为。（填奇函数或偶函数）4.若函数是偶函数，则的递减区间是5.设函数是定义在上的奇函数，且，则．【范例透析】【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；（3）（4）【例2】若是定义在上的奇函数，当时，，求当时，函数的解析式。（必修1习题10改编）【例3】已知

4、函数对一切、都有．⑴求证：是奇函数；⑵若，用表示．【例4】已知是R上的奇函数,且对任意实数x，恒有。当时。（1）求证：是周期函数（2）当时，求的解析式。（3）计算【方法规律总结】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件。2.函数的单调性是函数的局部性质，而函数奇偶性是函数的整体性质。3.若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0；4.为了便于判断函数的奇偶性，有时需先将函数在定义域内化简，或应用定义的等价形式：【巩固练习】1．已知奇函数，当时，则=___

5、____.2．设函数是奇函数且周期为3，则，则。3．设函数是偶函数，则实数___________。4．设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是_____.5．设函数是定义在R上的奇函数，若当时，则满足的x的取值范围是6．已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，则7.已知是定义在R上的偶函数，且满足，则8.判断下列函数的奇偶性：（1）（2）第6课时函数的奇偶性参考答案（部分）【热身练习】1.答案：2.答案：解析：由奇函数定义有得，故。3.答案：偶函数解析：函数，为奇函数，奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得。，所以为偶

6、函数。4.答案：解析：.5.答案：解析：是奇函数，又由，得，。【范例透析】例1．解：（Ⅰ）（1）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0.从而有f（x）==，这时有f（－x）==－=－f（x），故f（x）为奇函数.（Ⅱ）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）==－f（x）（x＜0）.当x＞0时，－x＜0，∴f（－x）==－f（x）（x＞0）.故函数f（x）为奇函数.例2．解：当时，，而为奇函数，；当x=

7、0时，，适合；当，。例3解：（1）函数f（x）的定义域是R，中，令得令得是奇函数。（2），，所以【巩固练习】1.答案：-2解析：因为奇函数，所以。2．答案：1解析：因为函数是奇函数且周期为3，所以。3.答案：解析：考查函数的奇偶性的知识。为奇函数，由，得。4.答案：解析：由得或，而。即或。