高三数学复习 专题23 正弦定理和余弦定理学案 理 苏科版

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1、学案22 正弦定理和余弦定理【导学引领】(一)考点梳理1.正弦定理:===2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:(1)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(2)a=2RsinA,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C;(3)sinA=,sinB=,sinC=等形式,以解决不同的三角形问题.2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccos_A,b2=a2+c2-2accos_B,c2=a2+b2-2abcos_C.余弦定理可以变形为:cosA=,cosB=,cosC=.3.S△ABC=absinC=bcsinA=acsinB==(a+b+c)·r(R是三角形外接圆半径,r是

2、三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.4.已知两边和其中一边的对角解三角形时,注意解的情况.如:已知a,b,A,则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解【助学·微博】 一条规律在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.【自学检测】1.设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a,b,c,且=,那么A=________.2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,

3、则角A的大小为________.3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC,则角C=________.4.在△ABC中,已知BC=1,B=,△ABC的面积为,则AC的长为________.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,1+=,则角A的大小为________.【合作释疑】利用正弦定理求解三角形【训练1】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足bcosC+c=a.(1)求角B;(2)若a,b,c成等比数列,判断△ABC的形状.【训练2】已知f(x)=sin-cosx.(1)求f(x)在[0,π]上的最小值;(2)已

4、知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,b=5,cosA=,且f(B)=1,求边a的长.利用余弦定理求解三角形【训练1】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且=-.(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.【训练2】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c2=a2+b2-ab.(1)若tanA-tanB=(1+tanA·tanB),求角B;(2)设m=(sinA,1),n=(3,cos2A),试求m·n的最大值正、余弦定理的综合应用【训练1】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(

5、2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.【训练2】在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c.(1)若c=2,C=,且△ABC的面积为,求a,b的值;(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,试判断△ABC的形状.【当堂达标】1.在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则边BC上的高等于________.2.在△ABC中,a=3,b=,A=,则角C的大小为________.3.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=,则sinB=________.4.已知a,b,c分别为△ABC三

6、个内角A,B,C的对边,c=asinC-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.(1)求证:B-C=;(2)若a=,求△ABC的面积.【课后作业】1.在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4,则cosC=________.2.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且b2+c2=bc+a2,则角A的大小为________.3.已知△ABC中,AB=2,C=,则△ABC的周长为________(用含角A的三角函数表示).4.在△ABC中,sin2A

7、≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是________.5.若△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为________. 6.已知△ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为________.7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若(a+b+c)(b+c-a)=3bc

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