2019年高考数学总复习 专题4.7 正弦定理和余弦定理导学案 理

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1、第七节正弦定理和余弦定理最新考纲1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cosA；b2＝c2＋a2－2ca·cosB；c2＝a2＋b2－2ab·cosC变形形式(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝c

2、osA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．4.三角形中的常见结论(1)A＋B＋C＝π，变形：＝－.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边：A>Ba>bsinA>sinB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之

3、差小于第三边．(4)在三角形中有：sin2A＝sin2B⇔A＝B或2A+2B=π⇔三角形为等腰或直角三角形；（5）三角形中的三角函数关系：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；sin＝cos；cos＝sin.典型例题考点一　正弦定理解三角形【例1】　在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.【答案】当A＝60°时，C＝75°，c＝；当A＝120°时，C＝15°，c＝.【解析】由正弦定理，得＝，即＝，∴sinA＝.∵a>b，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°

4、－45°－60°＝75°，c＝＝；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝＝.规律方法正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用.【变式训练1】在△ABC中，(1)若a＝4，B＝30°，C＝105°，则b＝________．(2)若b＝3，c＝，C＝45°，则a＝________．(3)若AB＝，BC＝，C＝30°，则∠A＝________．【答案】(1)2.(2)无解．(3)∠A＝45°或135°.【解析】(1

5、)已知两角和一边只有一解，由∠B＝30°，∠C＝105°，得∠A＝45°.由正弦定理，得b＝＝＝2.(2)由正弦定理得sinB＝＝>1，∴无解．(3)由正弦定理＝，得＝，∴sinA＝.∵BC>AB，∴A>C，∴∠A＝45°或135°.考点二　余弦定理解三角形【例2】　在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．【答案】(1)B＝π.(2)S△ABC＝.规律方法(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．(2)在已知三角形两边及其中一边

6、的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．【变式训练2】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c＝2，C＝.(1)若△ABC的面积等于，求a、b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．【答案】(1)a＝2，b＝2.(2)S＝.【解析】(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4.因为△ABC的面积等于，所以absinC＝，得ab＝4.联立方程组　解得a＝2，b＝2.(2)由题意得s

7、in(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，所以sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，所以B＝，所以a＝，b＝.当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组　解得a＝，b＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝.考点三　三角形形状的判定【例3】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】　B【解析】　∵bcosC＋cc

8、osB＝asinA，由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝sin2A.又sinA>0，∴sinA＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．【题点发散1】　本例条件变为若＝，判断△ABC的形状．【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形．【解析】　由＝，得＝，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.∵A、