导学案023正弦定理和余弦定理

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1、济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号022班级：高三（）姓名：正弦定理、余弦定理考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考情分析：1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学过程：基础梳理一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容 变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，b

2、sinC＝csinB，asinC＝csinA.cosA＝；cosB＝；cosC＝.解决的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.二、三角形常用面积公式1.S＝a·ha(ha表示边a上的高)；济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号022班级：高三（）姓名：2.S＝absinC＝＝；3.S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径双基自测1．(教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，a＝4

3、，b＝4，则B＝(　　)A．45°或135°　　　B．135°C．45°D．60°2．在△ABC中，a＝，b＝1，c＝2，则A等于(　　)A．30°B．45°C．60°D．75°3在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定4．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝________.5．(2011·新课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．关键点点拨：

4、在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下A为锐角A为钝角或直角图形  关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号022班级：高三（）姓名：典例分析考点一：利用正弦、余弦定理解三角形[例1]　(2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.变式11.本例条件不变，求角A.变式2．(2012·长沙模拟)在△AB

5、C中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c等于(　　)A．1　　　　B．2C.－1D.(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.考点二：利用正余弦定理判断三角形的形状[例2]　(2010·辽宁高考)在△ABC中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2as

6、inA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．变式3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC一定是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案编号022班级：高三（）姓名：1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形

7、状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.考点三：与三角形面积有关的问题[例3]　(2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.1．利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化；2．除了常用两边及其夹

8、角正弦值的乘积的一半面积公式外还有①S＝＝p·r(p是周长的一半，即p＝，r为内切圆半径)；②S＝(R为外接圆半径)．考题范例能(2011·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2.(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．解：(1)由题设并利用正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2ac