导学案023正弦定理和余弦定理.pdf

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1、正弦定理、余弦定理考纲要求：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考情分析：1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．2.常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学过程：基础梳理一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容①a＝，b＝，c＝；变②sinA＝，sinB＝，cosA＝；形sinC＝；cosB＝；形(其中R是△ABC外接圆半径)cosC＝.式③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.①已知两角和任一边，求另一①已知三边，求各角

2、；角和其他两条边；解决的问题②已知两边和它们的夹角，求第②已知两边和其中一边的对三边和其他两个角.角，求另一边和其他两角.1二、三角形常用面积公式1.S＝a·h(h表示边a上的高)；2aa12.S＝absinC＝＝；213.S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径2双基自测1．(教材习题改编)在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝()A．45°或135°B．135°C．45°D．60°2．在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于()A．30°B．45°C．60°D．75°3在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A

3、．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定π14．(2011·北京高考)在△ABC中，若b＝5，B＝，sinA＝，则a＝________.435．(2011·新课标全国卷)△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为________．关键点点拨：在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下A为锐角图形关系a＝bsinAbsinA＜a＜b式解的一解两解个数典例分析考点一：利用正弦、余弦定理解三角形[例1](2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.b(1)求；a(2)

4、若c2＝b2＋3a2，求B.变式11.本例条件不变，求角A.变式2．(2012·长沙模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知πA＝，a＝3，b＝1，则c等于()3A．1B．2C.3－1D.3(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．(2)已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.考点二：利用正余弦定理判断三角形的形状[例2](2010·辽宁高考)在△ABC中a，b

5、，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．cosAa变式3．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABCcosBb一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法1．利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过

6、三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.考点三：与三角形面积有关的问题[例3](2011·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已cosA－2cosC2c－a知＝.cosBbsinC(1)求的值；sinA1(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.41．利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化；2．除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有a＋b＋c①S＝pp－ap－bp

7、－c＝p·r(p是周长的一半，即p＝，2r为内切圆半径)；abc②S＝(R为外接圆半径)．4R考题范例能(2011·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sin1A＋sinC＝psinB(p∈R)，且ac＝b2.45(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围．4解：(1)由题设并利用正弦定理，得5a＋c＝，a＝1，14a＝，解得1或41c＝4，c＝1.ac＝，4(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB11＝p2b2－b2－b2

8、cosB，2231即p2＝＋cosB，223因为0＜cosB＜1，得p2∈