导学案023正弦定理和余弦定理.pdf

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1、正弦定理、余弦定理考纲要求:掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.考情分析:1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点.2.常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.教学过程:基础梳理一、正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容①a=,b=,c=;变②sinA=,sinB=,cosA=;形sinC=;cosB=;形(其中R是△ABC外接圆半径)cosC=.式③a∶b∶c=④asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.①已知两角和任一边,求另一①已知三边,求各角

2、;角和其他两条边;解决的问题②已知两边和它们的夹角,求第②已知两边和其中一边的对三边和其他两个角.角,求另一边和其他两角.1二、三角形常用面积公式1.S=a·h(h表示边a上的高);2aa12.S=absinC==;213.S=r(a+b+c)(r为内切圆半径2双基自测1.(教材习题改编)在△ABC中,A=60°,a=43,b=42,则B=()A.45°或135°B.135°C.45°D.60°2.在△ABC中,a=3,b=1,c=2,则A等于()A.30°B.45°C.60°D.75°3在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有()A

3、.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定π14.(2011·北京高考)在△ABC中,若b=5,B=,sinA=,则a=________.435.(2011·新课标全国卷)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为________.关键点点拨:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下A为锐角图形关系a=bsinAbsinA<a<b式解的一解两解个数典例分析考点一:利用正弦、余弦定理解三角形[例1](2011·辽宁高考)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos2A=2a.b(1)求;a(2)

4、若c2=b2+3a2,求B.变式11.本例条件不变,求角A.变式2.(2012·长沙模拟)在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知πA=,a=3,b=1,则c等于()3A.1B.2C.3-1D.3(1)应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.(2)已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.考点二:利用正余弦定理判断三角形的形状[例2](2010·辽宁高考)在△ABC中a,b

5、,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小;(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.cosAa变式3.△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则△ABCcosBb一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过

6、三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.注意:在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.考点三:与三角形面积有关的问题[例3](2011·山东高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已cosA-2cosC2c-a知=.cosBbsinC(1)求的值;sinA1(2)若cosB=,b=2,求△ABC的面积S.41.利用正弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化;2.除了常用两边及其夹角正弦值的乘积的一半面积公式外还有a+b+c①S=pp-ap-bp

7、-c=p·r(p是周长的一半,即p=,2r为内切圆半径);abc②S=(R为外接圆半径).4R考题范例能(2011·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知sin1A+sinC=psinB(p∈R),且ac=b2.45(1)当p=,b=1时,求a,c的值;(2)若角B为锐角,求p的取值范围.4解:(1)由题设并利用正弦定理,得5a+c=,a=1,14a=,解得1或41c=4,c=1.ac=,4(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB11=p2b2-b2-b2

8、cosB,2231即p2=+cosB,223因为0<cosB<1,得p2∈

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