高三数学复习 专题23 正弦定理和余弦定理学案 理 苏科版

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1、学案22　正弦定理和余弦定理【导学引领】（一）考点梳理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是

2、三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4．已知两边和其中一边的对角解三角形时，注意解的情况．如：已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解【助学·微博】　一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.【自学检测】1．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且＝，那么A＝________.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，

3、则角A的大小为________．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则角C＝________.4．在△ABC中，已知BC＝1，B＝，△ABC的面积为，则AC的长为________．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1＋＝，则角A的大小为________．【合作释疑】利用正弦定理求解三角形【训练1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足bcosC＋c＝a.(1)求角B；(2)若a，b，c成等比数列，判断△ABC的形状．【训练2】已知f(x)＝sin－cosx.(1)求f(x)在[0，π]上的最小值；(2)已

4、知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，b＝5，cosA＝，且f(B)＝1，求边a的长．利用余弦定理求解三角形【训练1】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝－.(1)求角B的大小；(2)若b＝，a＋c＝4，求△ABC的面积．【训练2】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2－ab.(1)若tanA－tanB＝(1＋tanA·tanB)，求角B；(2)设m＝(sinA,1)，n＝(3，cos2A)，试求m·n的最大值正、余弦定理的综合应用【训练1】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(

5、2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．【当堂达标】1．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则边BC上的高等于________．2．在△ABC中，a＝3，b＝，A＝，则角C的大小为________．3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cosC＝，则sinB＝________.4．已知a，b，c分别为△ABC三

6、个内角A，B，C的对边，c＝asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为，求b，c.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A＝，bsin－csin＝a.(1)求证：B－C＝；(2)若a＝，求△ABC的面积．【课后作业】1．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________.2．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2，则角A的大小为________．3．已知△ABC中，AB＝2，C＝，则△ABC的周长为________(用含角A的三角函数表示)．4．在△ABC中，sin2A

7、≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是________．5．若△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．　6．已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为________．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc