《临界极值问题》word版

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1、临界极值问题要点精析一、物体在竖直面内做圆周运动的临界问题例2　如图3所示，质量为3m的竖直圆环A的半径为r，固定在质量为2m的木板B上，木板B放在水平地面上，不能左右运动．在环的最低点静止放置一质量为m的小球C，给小球一水平向右的瞬时速度v1，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起，瞬时速度必须满足(　　)A．最小值B．最大值3C．最小值D．最大值解析　为保证小球能通过环的最高点，对小球在最高点进行受力分析，临界条件下是小球只受重力，由mg＝m知小球在最高点时的速

2、度至少为v＝从小球开始运动到最高点过程由机械能守恒定律得mv12＝mv2＋2mgr小球在最低点时v1＝所以小球在最低点时的瞬时速度至少为v1min＝，C正确．如果要使环不会在竖直方向上跳起，则在最高点时小球对A的弹力最多为FN′＝5mg，A对小球的竖直向下的弹力最多为FN＝FN′＝5mg，对小球在最高点进行受力分析可知FN＋mg＝m解得小球在最高点时的速度v′＝对小球由机械能守恒定律得mv1′2＝mv′2＋2mgr解得小球在最低点时v1′＝所以小球在最低点时的瞬时速度最大为v1max＝，D正确．答案为C、D

3、[点评]　临界问题往往和极值问题相互关联，研究临界问题和极值问题的基本观点：(1)物理方法：通过对物理过程的分析，明确出现极值时有何物理特征，抓住临界(或极值)条件进行求解，这种方法突出了问题的物理本质．(2)数学讨论，通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系，用数学方法求解极值．一、静摩擦力的范围引出的临界问题例1　如图1所示，倾角为α＝60°的斜面上，放一质量为1kg的物体，用k＝100N/m的轻质弹簧平行于斜面吊着，物体放在PQ之间任何位置都能处于静止状态，而超过这一范围，物体都会沿

4、斜面滑动，若AP＝22cm，AQ＝8cm，试求轻质弹簧原长及物体与斜面间的最大静摩擦力的大小．(g取10m/s2)解析　物体在临界位置Q点，弹簧被压缩，压缩量为x＝L－AQ，受力图如图(a)，物块有下滑趋势，最大静摩擦力Fm沿斜面向上；物体在临界位置P点，弹簧被拉长，伸长量为x，物块有上滑趋势，最大静摩擦力Fm沿斜面向下，受力图如图(b)．由上两图分别列出：Fm＝k(L－AQ)＋Gsin60°①Fm＝k(AP－L)－Gsin60°②解①②式得：L＝m，代入①式得：Fm＝7N.答案　m　7N[点评]　由于静摩

5、擦力的大小有一定的范围，本题中物体在斜面上平衡的位置也就是一个范围，最下面的临界状态对应于静摩擦力向下达到最大值，最上面的临界状态对应于静摩擦力向上达到最大值．针对训练1　如图2所示，位于斜面上的物体M在沿斜面向上的力F的作用下，处于静止状态，则斜面作用于物体的静摩擦力(　　)(1)方向可能沿斜面向上(2)方向可能沿斜面向下(3)大小可能等于零(4)大小可能等于FA．仅(1)正确B．仅(1)(3)正确C．仅(2)(3)正确D．全部正确解析　这是一个临界状态问题．由于物体静止，其所受合力应该为零，如图所示，除

6、受重力Mg、推力F、支持力FN外，物体是否受到静摩擦力取决于这三个力的合力大小和方向，即：因摩擦力必须沿着斜面方向，有无摩擦力取决于Mg沿斜面的分力与F的合力的大小和方向．假设有静摩擦力存在，并且其方向向下，由平衡条件有F－Mgsinθ－Ff＝0即Ff＝F－Mgsinθ.于是有以下三种可能的临界状态：当F＞Mgsinθ时，Ff＞0，方向沿斜面向下；当F＝Mgsinθ时，Ff＝0，物体不受摩擦力；当Mgsinθ＝2F时，Ff＝F，方向沿斜面向上．(D)针对训练2　如图4所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于

7、R)，小球a，b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动，两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是(　　)A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需的向心力大5mgB．当v＝时，小球b在轨道最高点时对轨道无压力C．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动D．只要v≥，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg解析　小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b所受重力充当向心力，mg＝m，v0＝，小球从最高点运动到最低

8、点的过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR＋mv02＝mv2，可得v＝，B项正确；小球在最低点时，F向＝m＝5mg，最高点和最低点所需向心力的差为4mg，A项错；小球在最高点，内管对小球可以提供支持力，所以小球通过最高点的最小速度可以为0，再由机械能守恒定律可知，2mgR＝mv′2，解得v′＝2，C项错；当v≥时，小球在最低点所受的支持力F1＝mg＋，由最低点运动到最高点，2mgR＋mv12＝mv2，设