高中数学 3.1柯西不等式（一）导学案新人教版选修4-5

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1、3．1　柯西不等式（一）【学习目标】1、认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。2、通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题。【重点难点】柯西不等式的简单应用一、自主学习要点1：二维形式的柯西不等式(1)定义：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥，当且仅当ad＝bc时，等号成立．要点2：(2)二维形式的柯西不等式的一些变式变式1:·≥

2、ac＋bd

3、(当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式2：(a＋b)(c＋d)≥(＋)2.(a，b，c，d∈R＋，当且仅当ad＝bc时，等号成立)变式3:·≥

4、ac

5、＋

6、bd

7、(当且仅当

8、ad

9、＝

10、bc

11、时，等号成立)要点3．

12、柯西不等式的向量形式设α，β是两个向量，则

13、α·β

14、≤

15、α

16、

17、β

18、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．要点4．(1)二维形式的三角不等式设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥.（2）．设平面上三点坐标为A(a1，a2)、B(b1，b2)、C(c1，c2)，则＋≥，其几何意义为：

19、AB

20、＋

21、BC

22、≥

23、AC

24、.（3）．设α，β，γ为平面向量，则

25、α－β

26、＋

27、β－γ

28、≥

29、α－γ

30、，等号成立的充要条件为α－β＝λ(β－γ)(λ＞0)．二、合作，探究，展示，点评题型一　利用柯西不等式证明不等式【例1】已知3x2＋2y2＝6，求证：2x＋y≤.【变式1】已知x，y，a

31、，b∈R＋，且＋＝1，求证x＋y≥(＋)2.【变式2】设：a,b∈，a+b=1，求证【例2】已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.【变式2】利用柯西不等式证明：≥2.题型二　利用柯西不等式求函数的最值【例3】求函数y＝5＋的最大值．三、知识小结《柯西不等式一》课时作业一、选择题1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)．A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．[－，]2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是(　　)．A.B．1C．3D．93．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为(　　)．

32、A．4B．2C．1D.4．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则(　　)．A．P>QB．P≥QC．P

33、acosθ＋bsinθ

34、≤1.