高中数学 3.2一般形式的柯西不等式导学案新人教版选修4-5

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1、3.2一般形式的柯西不等式【学习目标】1、掌握三维形式和多维形式的柯西不等式。2、通过运用一般形式的柯西不等式分析解决一些简单问题。【重点难点】一般形式的柯西不等式一、自主学习要点1：三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a＋a＋a)·(b＋b＋b)≥.当且仅当时，等号成立．要点2：一般形式的柯西不等式，当且仅当时，等号成立。二、合作，探究，展示，点评题型一　利用柯西不等式证明不等式【例1】设a，b，c为正数且互不相等，求证：＋＋>.【变式1】已知a1，a2，a3为实数，b1，b2，b3为正实数．求证：＋＋

2、≥题型二　利用三维柯西不等式求函数的最值【例2】已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．【变式2】已知x＋4y＋3z＝2，求x2＋y2＋z2的最小值．题型三　一般形式柯西不等式的应用【例3】设a1，a2，…，an为正整数，求证：＋＋…＋≥a1＋a2＋…＋an.【变式3】已知a、b、c、d∈R＋，且a＋b＋c＋d＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2≥.方法技巧　利用柯西不等式求最值【示例1】已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最大值【示例2】“数学史与不等式选讲”模块已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.(1)求证

3、：＋＋≥；(2)求4x＋4y＋4z的最小值．三、知识小结《一般形式的柯西不等式》课时作业一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为(　　)．A．9　　　　B．3　　　　C.　　　　D．12．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为(　　)．A．1B．nC.D．23．已知a，b，c为正数，则有(　　)．A．最大值9B．最小值9C．最大值3D．最小值3二、填空题4．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范

4、围为________．5．设a，b∈R＋，则与的大小关系是________．三、解答题6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．7．设a1>a2>…>an>an＋1，求证：＋＋…＋＋>0.8．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．