高中数学 3.1 不等关系与不等式学案 新人教b版必修5

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1、第三章　不等式§3.1　不等关系与不等式1．不等式的基本性质对于任意的实数a，b，有以下事实：a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；ab>0，m>0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：－＝＝.∵m>0，a>b>0，∴b－a<0，∴<0，∴<.2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面单向性：(1)a>b，b>c⇒a>c.(2)a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(3)a>b，c>0⇒ac>bc.(4)a>b，c<0⇒acb>0，

2、c>d>0⇒ac>bd.(6)a>b>0，n为正实数⇒an>bn.双向性：(1)a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab⇔bb⇔a＋c>b＋c.单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)．若把c>0作为大前提，则a>b⇔ac>bc，若把c<0作为大前提，则a>b⇔ac

3、12，等式方向不改变)⇔－2x<8x－10(不等式两边都加上－9)⇔－10x<－10(不等式两边都加上－8x)⇔x>1(不等式两边都乘以－，不等式方向改变！)3．正分数的一个有趣性质在a>b>0，m>0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：<<1<<.由<可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如：<<<<<<<.由<可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如：>>>>>>>.从函数的观点看：当a>b>0时，函数f(x)＝在x∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f(x)＝在

4、[0，＋∞)上是单调递减的．一、利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．例1　已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．解　可将f(a)与f(b)分别表示出来，然后根据m，a，b的取值范围进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解．由于f(x)＝，所以f(a)＝，f(b)＝，于是f(a)－f(b)＝－＝，由于a>b>1，所以b－a<0，

5、(a－1)(b－1)>0.当m>0时，<0，所以f(a)0，所以f(a)>f(b)；当m＝0时，＝0，所以f(a)＝f(b)．二、利用作商法比较实数大小方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：(1)若a，b都是正数，则a>b⇔>1；ab⇔<1.a1；a＝b⇔＝1.作商比较法的基本步骤为：①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．例2　设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小．解　∵＝aa－·b

6、b－＝a·b＝当a>b>0时，>1，a－b>0，>0∴>0＝1，∴aabb>(ab).当00＝1，∴aabb>(ab).所以，不论a>b>0还是0(ab).同理：(ab)>abba.综上所述，aabb>(ab)>abba.三、利用不等式的性质比较大小方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断．例3　对于0loga③a1＋aa

7、1＋其中成立的是(　　)A．①与③B．①与④C．②与③D．②与④解析　∵0loga，a1＋a>a1＋.答案　D四、利用不等式性质求参数范围方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．例4　是否存在实数a，使不等式＋＋＋…＋>loga(a－

8、1)＋对一切大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因．解　记f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N*，且n≠1)．如果存在题意中要求的实数a，那么loga(a－1)＋<[f(n)]min∴f(n)－f(n＋1)＝－－＝－<0，∴f(n)为增函数，故[f(n)]min＝f(2)＝＋＝，l