高考数学专题——双曲线的定义及几何性质

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1、内部资料2021-10-16高三数学一轮复习专讲专练——双曲线一、要点精讲1、双曲线的定义与几何性质：定义1、到两个定点与的距离之差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹2、到定点与到定直线的距离之比等于常数e（＞1）的点的轨迹标准方程=1=1图形性质范围或，，或对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点渐近线顶点坐标，，，，焦点，，轴实轴的长为虚轴的长为离心率，其中准线准线方程是准线方程是2、双曲线的形状与的关系：因为双曲线的斜率，所以越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔。3、共渐近线的双曲线系方程：与=1有相同渐近

2、线的双曲线系方程可设为l[7内部资料2021-10-16，若，则双曲线的焦点在轴上；若，则双曲线的焦点在轴上。二、高考链接1、（2010安徽理）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、2．（2013年湖北）已知,则双曲线:与:的（　　）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等3．（2013课标）已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为（　　）A．B．C．D．4．（2013湖南）设F1、F2是双曲线C,(a>0，b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为___________.5.（2010北京）已知双曲线的离心

3、率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为。6．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为______．解：由题意，双曲线的焦点在x轴上且m＞0，所以e＝＝，所以m＝2.三、典例精讲考点一：双曲线的定义1、(2011四川)双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是________．解：双曲线中，a＝8，b＝6，所以c＝10，由于点P到右焦点的距离为4,4＜a＋c＝18，所以点P在双曲线右支上．由定义知点P到左焦点的距离为2×8＋4＝20，设点P到双曲线左准线的距离为d，再根据双曲线第二定义，有＝

4、＝，故d＝16.2、平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点Ml[7内部资料2021-10-16到此双曲线的右焦点的距离为________．解：双曲线的右焦点(4,0)，点M(3，)或(3，－)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4.3．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则

5、PM

6、－

7、PN

8、的最大值为__________．解：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2－＝1的两焦点．当

9、PM

10、最大，

11、PN

12、最小时，

13、PM

14、－

15、PN

16、最大，

17、PM

18、最大值为P到圆心F1的距

19、离

20、PF1

21、与圆F1半径之和，同样

22、PN

23、最小＝

24、PF2

25、－1，从而

26、PM

27、－

28、PN

29、的最大值为

30、PF1

31、＋2－(

32、PF2

33、－1)＝

34、PF1

35、－

36、PF2

37、＋3＝2a＋3＝5.4.（09辽宁）以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为。解：注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0)，于是由双曲线性质

38、PF

39、－

40、PF’

41、＝2a＝4而

42、PA

43、＋

44、PF’

45、≥

46、AF’

47、＝5两式相加得

48、PF

49、＋

50、PA

51、≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.5．(2012大纲)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，

52、PF1

53、＝2

54、PF2

55、，则c

56、os∠F1PF2=A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.解：依题意得a＝b＝，∴c＝2.∵

57、PF1

58、＝2

59、PF2

60、，设

61、PF2

62、＝m，则

63、PF1

64、＝2m.又

65、PF1

66、－

67、PF2

68、＝2＝m.∴

69、PF1

70、＝4，

71、PF2

72、＝2.又

73、F1F2

74、＝4，∴cos∠F1PF2＝＝.故选C.6、中，A、B、C所对三边为，，求满足时，顶点A的轨迹，并画出图形。考点二：求解双曲线方程7、求适合下列条件的双曲线的标准方程⑴虚轴长为12，离心率为；⑵顶点间距离为6，渐近线方程为⑶与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，2）；l[7内部资料2021-10-16⑷与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）

75、.8．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，直线x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于.求双曲线S的方程；解析：(1)根据已知设双曲线S的方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝.∴双曲线S的方程可化为x2－2y2＝a2，∵直线x－3y＋5＝0上的点与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于，右焦点为，∴＝，解方程得a＝.∴双曲线S的方程为x2－2y2＝2.考点二：双曲线的几何性质9、设椭圆C1的离心率