高中的数学解析汇报几何双曲线性质与定义

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1、实用标准文案双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。一、双曲线的定义①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F1、F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线。取过两个定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平

2、分线为y轴建立直角坐标系。设M(x，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a。将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：由双曲线定义，2c＞2a　即c＞a，所以c2-a2＞0．设(b＞0)，代入上式得：双曲线的标准方程：两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。实轴长、虚轴长、焦距间的关系：，精彩文档实用标准文案②双

3、曲线的第二定义与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：，我们将代入，可得：所以有：双曲线的第二定义可描述为：　　平面内一个动点（x,y）到定点(c,0)的距离与到定直线()的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线，其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率；（2）范围：；（3）双曲线形状与的关系：；因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

4、；（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；2、准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；位置关系：，焦点到准线的距离（也叫焦参数）；对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。精彩文档实用标准文案3、双曲线的焦半径：双曲线上任意一点与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。设双曲线，是其左右焦点，，∴，∴；同理；即：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：其中分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点同理：焦点在轴上的

5、双曲线的焦半径公式：二、双曲线的性质　　1、轨迹上一点的取值范围：（焦点在x轴上）或者（焦点在y轴上）。　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。　　3、顶点：A(-a,0)，A＇(a,0)。同时AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a；　　B(0,-b)，B＇(0,b)。同时BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b。4、渐近线：由，当所以：双曲线的渐近线方程为：　　　焦点在x轴：，焦点在y轴：　　5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）　　右焦半径：r=│ex-a│　　左焦半径：r=│

6、ex+a│6、共轭双曲线双曲线S:，双曲线　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。　　特点：（1）共渐近线　　（2）焦距相等　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于17.焦点到一条渐近线的距离精彩文档实用标准文案 特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：例1：已知双曲线的渐近线是，我们可以判断直线与双曲线的交点个数 ①当直线的斜率时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，

7、如果，则它与双曲线有一个只有一个交点。②当直线的斜率时，则与双曲线有两个交点。③当直线的斜率时，则与与双曲线没有交点例2　已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围． 解：由可得， 从而，解得． 又因为的渐近线方程是，所以.故 精彩文档实用标准文案  例3　已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是              解：由已知可知,所以 例4双曲线上一点与左右焦点构成，求的内切圆与边的切点的坐标。分析：设点在已知双曲线的右支上，要求点的坐标。即求的长度，而，其中

8、，只需求的长度，即是圆⊙的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。解：设点在已知双曲线的右支上，由题意得，，，又，，，又，当点在已知双曲线的右支上时，切点为顶点,当点在已知双曲线的左支上时，切点为顶点例5已知是双曲线的左右焦点，在双曲线的左支上，，，求的值分析：如右图，先做出的内切圆⊙，则⊙切于点，等于内切圆的半径。且，解：做出的内切圆⊙，则⊙切于点，，，，，例6设是曲线:的焦点，为曲线:与